Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$ 2= \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}} < 2$

nghịch lí toán học vô tỉ phương trình vô tỉ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 KhaiSang

KhaiSang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 01-01-2017 - 15:30

Hôm nay, mình xin giới thiệu tới các bạn một bài toán đã gây tranh cãi khá nhiều trong lớp của mình, và cho đến bây giờ thì mình vẫn chưa có câu trả lời thỏa đáng, vì cả hai phép chứng minh của bài toán tuy mâu thuẫn nhau, nhưng theo nhìn nhận của mình thì chúng... đều đúng cả.

Bài toán

Cho biểu thức:

$x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}}$

Câu hỏi:

a) CMR: $x < 2$ ;

b) Tính $x$.

 

Giải

Thực ra bài toán sẽ không có gì đáng nói nếu kết quả hai câu hỏi rất mâu thuẫn nhau.

a) Dễ thấy: $2 < 4 \Rightarrow \sqrt{2} < 2 \Rightarrow 2 + \sqrt{2} < 4 \Rightarrow \sqrt{2 + \sqrt{2}} < 2 \Rightarrow ... \Rightarrow x < 2.$

Như vậy, câu (a) đã chứng minh thành công $x < 2$ và cách làm này được coi là đúng và trình bày trong rất nhiều sách tham khảo của những tác giả uy tín. Và cách tính $x$ của câu (b) cũng thế, trong rất nhiều sách, được coi là đúng, nhưng cho kết quả trái ngược.

b) Ta có: $x^{2} = 2 + x \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1} = -1\\ x_{2} = 2 \end{matrix}\right..$ Tuy nhiên, do x > 0 nên $x = 2$.

Theo như mình nhận thấy, cả hai phép chứng minh trên đều đúng. Liệu cách giải của một câu nào đó mắc một lỗi cơ bản của toán học chăng? Hay đối tượng gặp vấn đề lại là tính logic của toán học?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhaiSang: 01-01-2017 - 15:30


#2 vamath16

vamath16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T1K27-CHT
  • Sở thích:yêu gái đẹp.

Đã gửi 01-01-2017 - 15:48

cái (a) là x<2 thì với số căn là số có hạn như 100, 150...

còn ý (b) đặt được x như vậy thì nó phải vô hạn căn bạn ạ ^^



#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 01-01-2017 - 16:22

Ở phần đầu viết $x<2$ và chứng minh như thế là đúng vì mỗi lần cho nhỏ hơn và lấy căn là một lần đếm thêm một . Nên viết $x<2$ ý nói là chỉ nhỏ hơn nếu có hữu hạn căn . Còn khi vô hạn ta luôn phải hiểu là giới hạn của dãy số . Tác giả rất sai lầm khi để các bài toán như này cho hs cấp $2$
  • 013 yêu thích

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 PhungHieu

PhungHieu

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-01-2017 - 16:23

Hôm nay, mình xin giới thiệu tới các bạn một bài toán đã gây tranh cãi khá nhiều trong lớp của mình, và cho đến bây giờ thì mình vẫn chưa có câu trả lời thỏa đáng, vì cả hai phép chứng minh của bài toán tuy mâu thuẫn nhau, nhưng theo nhìn nhận của mình thì chúng... đều đúng cả.

Bài toán

Cho biểu thức:

$x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}}$

Câu hỏi:

a) CMR: $x < 2$ ;

b) Tính $x$.

 

Giải

Thực ra bài toán sẽ không có gì đáng nói nếu kết quả hai câu hỏi rất mâu thuẫn nhau.

a) Dễ thấy: $2 < 4 \Rightarrow \sqrt{2} < 2 \Rightarrow 2 + \sqrt{2} < 4 \Rightarrow \sqrt{2 + \sqrt{2}} < 2 \Rightarrow ... \Rightarrow x < 2.$

Như vậy, câu (a) đã chứng minh thành công $x < 2$ và cách làm này được coi là đúng và trình bày trong rất nhiều sách tham khảo của những tác giả uy tín. Và cách tính $x$ của câu (b) cũng thế, trong rất nhiều sách, được coi là đúng, nhưng cho kết quả trái ngược.

b) Ta có: $x^{2} = 2 + x \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1} = -1\\ x_{2} = 2 \end{matrix}\right..$ Tuy nhiên, do x > 0 nên $x = 2$.

Theo như mình nhận thấy, cả hai phép chứng minh trên đều đúng. Liệu cách giải của một câu nào đó mắc một lỗi cơ bản của toán học chăng? Hay đối tượng gặp vấn đề lại là tính logic của toán học?

Số căng xàng nhiều thì x càng tiến về 2 nên với vô hạn số căng thì x sẽ bằng 2



#5 wanderboy

wanderboy

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Đã gửi 13-06-2017 - 16:18

Bạn cũng có thể dùng lập luận đó để chứng minh 9,9999...<10 , hay $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...<2$

Không thể "đi từng bước một" như vậy để đạt tới vô hạn.Ví dụ không thể khẳng định dãy 1+1+1+... có tổng hữu hạn bằng lập luận (hữu hạn)+1=(hữu hạn)







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh