Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 1/2017: Chứng minh đường thẳng chia đôi đoạn thẳng

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 01-01-2017 - 22:15

Như vậy thầy Hùng đã đưa lời giải cho bài Tuần 4 tháng 12/2016 tại Tuần 1 tháng 1 năm 2017 và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ có đường đối trung $AD$. $O,K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABC,ADB,ADC$. $J$ thuộc $KL$ sao cho $JD \perp BC$. Trung trực $KL$ cắt $OJ$ tại $P$. $I,Q$ lần lượt là trung điểm $AO,JD$. $H$ là hình chiếu của $I$ lên đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AD$. Chứng minh rằng $QH$ chia đôi $AP$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 01-01-2017 - 23:18

Cám ơn Toàn, đây là hình vẽ cho bài toán.

 

Figure4227.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 01-01-2017 - 23:19


#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1511 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 02-01-2017 - 12:28

Ta có $\widehat{AKB} = 2\widehat{ADB}=\widehat{ALC}$ nên $\Delta AKB \sim \Delta ALC\Rightarrow \Delta AKL \sim \Delta ABC$

Ngoài ra $\widehat{OAL}=\widehat{BAD}$ nên $AO$ là trung tuyến của tam giác $AKL$

Ta có $\widehat{DAJ} = 90^o-\widehat{ADB}=\widehat{BAK}$ nên $AJ$ là đường đối trung của tam giác $AKL$

Hiện tại tiếp theo em chưa có hướng gì đẹp, em xin đi theo hướng này.

Gọi $E$ là trung điểm $BC$, $AE$ cắt $(O)$ lần thứ 2 tại $F$, trung trực $BC$ cắt $DF$ tại $R$. Chú ý rằng $O\in (AKL)$ nên $\dfrac{JP}{PO}=\dfrac{DR}{RF}$

$AD$ cắt $(O)$ tại $S$ và giao điểm tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ là $T$. Gọi $W$ là trung điểm $AS$

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ADF$ với cát tuyến $\overline{T, R, E}$, ta có:

$$\dfrac{DR}{RF}=\dfrac{EA}{EF}.\dfrac{TD}{TA}=\dfrac{AD.TD}{DS.TA}=\dfrac{TD}{TS}=\dfrac{AD}{AW}$$

Gọi $W'$ là đối xứng với $O$ qua $H$ thì $W'$ đối xứng với $W$ qua $A$ và ta có $\dfrac{JP}{PO}=\dfrac{AD}{AW'}$

Do đó theo bổ đề ERIQ ta suy ra trung điểm $ID, AP, OW'$ thẳng hàng nên $HQ$ chia đôi $AP$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 02-01-2017 - 12:29

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4 quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 06-01-2017 - 11:43

tiếp tuyến của A cắt BC tại $G\Rightarrow OG\perp AD$.

Có $A(GDBC)=-1\Rightarrow O(AGKL)=-1$,mà $KL\parallel OG$(cùng$\perp AD$) nên OA đi qua trung điểm R của KL. AH cắt OF(với F là giao điểm 2 tiếp tuyến tai BC)tại T

Dễ dàng c/m ATOKL nội tiếp$\Rightarrow ATLK$ là hình thang cân $\Rightarrow AK=TL=KD\Rightarrow KTLD$là hình bình hành$\Rightarrow DR$ đi qua T

vì $R(ADKP)=-1\Rightarrow (OEPJ)=-1(E=RD\cap OJ )\Rightarrow D(OEPJ)=-1$,DP cắt OT tại S$\Rightarrow S$ là trung điểm OT Q là trung điểm DJ$\Rightarrow QP$ qua trung điểm M của OS. OD cắt AT tại W$\Rightarrow JQ=JD/2=WJ/2$ SM=SO/2=TS/2$\Rightarrow WT$,JS,QM đồng qui tại N(Theo talet đảo) Có S(JDQM)=-1$\Rightarrow (NPMQ)=-1 \Rightarrow H(NPMQ)=-1 \Rightarrow H(APMQ)$ mà HM//AP nên HQ qua trung điểm AP

Hình gửi kèm

  • f.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynhlqd2016: 06-01-2017 - 14:43


#5 quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 06-01-2017 - 14:39

giờ em chứng minh HM//AP

Ta có MO=MS,QJ=QD$\Rightarrow DO$ đi qua N.

HI cắt OD tại X$\Rightarrow X$ là trung điểm OD$\Rightarrow XM//DS \Rightarrow \frac{HA}{HN}=\frac{XD}{XN}=\frac{MP}{MN}\Rightarrow HM//AP$







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh