Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 1/2017: Chứng minh đường thẳng chia đôi đoạn thẳng

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4194 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 01-01-2017 - 22:15

Như vậy thầy Hùng đã đưa lời giải cho bài Tuần 4 tháng 12/2016 tại Tuần 1 tháng 1 năm 2017 và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ có đường đối trung $AD$. $O,K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABC,ADB,ADC$. $J$ thuộc $KL$ sao cho $JD \perp BC$. Trung trực $KL$ cắt $OJ$ tại $P$. $I,Q$ lần lượt là trung điểm $AO,JD$. $H$ là hình chiếu của $I$ lên đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AD$. Chứng minh rằng $QH$ chia đôi $AP$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 628 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 01-01-2017 - 23:18

Cám ơn Toàn, đây là hình vẽ cho bài toán.

 

Figure4227.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 01-01-2017 - 23:19


#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 02-01-2017 - 12:28

Ta có $\widehat{AKB} = 2\widehat{ADB}=\widehat{ALC}$ nên $\Delta AKB \sim \Delta ALC\Rightarrow \Delta AKL \sim \Delta ABC$

Ngoài ra $\widehat{OAL}=\widehat{BAD}$ nên $AO$ là trung tuyến của tam giác $AKL$

Ta có $\widehat{DAJ} = 90^o-\widehat{ADB}=\widehat{BAK}$ nên $AJ$ là đường đối trung của tam giác $AKL$

Hiện tại tiếp theo em chưa có hướng gì đẹp, em xin đi theo hướng này.

Gọi $E$ là trung điểm $BC$, $AE$ cắt $(O)$ lần thứ 2 tại $F$, trung trực $BC$ cắt $DF$ tại $R$. Chú ý rằng $O\in (AKL)$ nên $\dfrac{JP}{PO}=\dfrac{DR}{RF}$

$AD$ cắt $(O)$ tại $S$ và giao điểm tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ là $T$. Gọi $W$ là trung điểm $AS$

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ADF$ với cát tuyến $\overline{T, R, E}$, ta có:

$$\dfrac{DR}{RF}=\dfrac{EA}{EF}.\dfrac{TD}{TA}=\dfrac{AD.TD}{DS.TA}=\dfrac{TD}{TS}=\dfrac{AD}{AW}$$

Gọi $W'$ là đối xứng với $O$ qua $H$ thì $W'$ đối xứng với $W$ qua $A$ và ta có $\dfrac{JP}{PO}=\dfrac{AD}{AW'}$

Do đó theo bổ đề ERIQ ta suy ra trung điểm $ID, AP, OW'$ thẳng hàng nên $HQ$ chia đôi $AP$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 02-01-2017 - 12:29

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4 quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-01-2017 - 11:43

tiếp tuyến của A cắt BC tại $G\Rightarrow OG\perp AD$.

Có $A(GDBC)=-1\Rightarrow O(AGKL)=-1$,mà $KL\parallel OG$(cùng$\perp AD$) nên OA đi qua trung điểm R của KL. AH cắt OF(với F là giao điểm 2 tiếp tuyến tai BC)tại T

Dễ dàng c/m ATOKL nội tiếp$\Rightarrow ATLK$ là hình thang cân $\Rightarrow AK=TL=KD\Rightarrow KTLD$là hình bình hành$\Rightarrow DR$ đi qua T

vì $R(ADKP)=-1\Rightarrow (OEPJ)=-1(E=RD\cap OJ )\Rightarrow D(OEPJ)=-1$,DP cắt OT tại S$\Rightarrow S$ là trung điểm OT Q là trung điểm DJ$\Rightarrow QP$ qua trung điểm M của OS. OD cắt AT tại W$\Rightarrow JQ=JD/2=WJ/2$ SM=SO/2=TS/2$\Rightarrow WT$,JS,QM đồng qui tại N(Theo talet đảo) Có S(JDQM)=-1$\Rightarrow (NPMQ)=-1 \Rightarrow H(NPMQ)=-1 \Rightarrow H(APMQ)$ mà HM//AP nên HQ qua trung điểm AP

Hình gửi kèm

  • f.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynhlqd2016: 06-01-2017 - 14:43


#5 quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-01-2017 - 14:39

giờ em chứng minh HM//AP

Ta có MO=MS,QJ=QD$\Rightarrow DO$ đi qua N.

HI cắt OD tại X$\Rightarrow X$ là trung điểm OD$\Rightarrow XM//DS \Rightarrow \frac{HA}{HN}=\frac{XD}{XN}=\frac{MP}{MN}\Rightarrow HM//AP$







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh