Tìm nghiệm nguyên không âm của PT:
$2.3^{x}+1=7.5^{y}$
Tìm nghiệm nguyên không âm của PT:
$2.3^{x}+1=7.5^{y}$
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Tìm nghiệm nguyên không âm của PT:
$2.3^{x}+1=7.5^{y}$
Xét $x=0 \Rightarrow 3=7.5^y$ (Loại).
Xét $y=0 \Rightarrow 2.3^x=6 \Rightarrow x=1$ (thỏa)
Xét $x,y \geq 1$
Ta có $VT \equiv 1 \equiv VP \equiv (-1)^y$ ($mod 3$)
$\Rightarrow y$ chẵn.
Tương tự dễ chứng minh được $x$ lẻ.
Đặt $x=2k+1,y=2t$ thì phương trình đã cho tương đương với :
$6.(3^k)^2+1=7.(5^t)^2$
Đặt tiếp $3^k=a, 5^t=b$
$\Rightarrow 7b^2-6a^2=1$
Đây là phương trình Pell dạng $Ax^2-By^2=1$. Nghiệm của phương trình này được sinh ra bởi dãy :
$\left\{\begin{matrix} b_{0}=1,b_{1}=25,b_{n+2}=26b_{n+1}-b_{n} & \\ a_{0}=1,a_{1}=27,a_{n+2}=26a_{n+1}-a_{n}\\n=0,1,..\end{matrix}\right.$
Với $k=1,2$ thì $a=3,9$ (PT vô nghiệm).
Với $k=3$ thì $t=2$. PT có nghiệm $(x,y)=(7,4)$
Với $k \geq 4$.
Gọi $r_{n}$ là số dư khi chia $a_{n}$ cho $81$
Bằng cách chật vật tính toán. Ta tính được :
$r_{0}=1,r_{1}=27,r_{2}=53,r_{3}=55,r_{4}=0,r_{5}=26,r_{6}=28,r_{7}=54,r_{8}=80,r_{9}=1,r_{10}=27.$
Do đó dãy $r_{n}$ tuần hoàn chu kỳ $9$ và ta có $r_{n} \equiv 0 (mod 81) \Leftrightarrow n \equiv 4 (mod 9)$
Tương tự. Gọi $s_{n}$ là số dư khi chia $a_{n}$ cho $19$.
Tương tự ta cũng có $s_{n} \equiv 0 (mod 19) \Leftrightarrow n \equiv 4 (mod 9)$
Từ đó nếu $81 \mid a_{n}$ thì $19 \mid a_{n}$ (Vô lý vì $a_{n}$ có dạng $3^k$).
Vậy với $k \geq 4$ thì phương trình vô nghiệm
Kết luận : $(x,y)=(7,4);(1,0)$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh