Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.
Cm:
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leqslant \frac{9}{4}$
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leqslant \frac{9}{4}$
Bắt đầu bởi Kagome, 02-01-2017 - 01:09
#2
Đã gửi 02-01-2017 - 07:33
doremon01
-
- Thành viên
-
- 153 Bài viết
Trung sĩ
$ \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leqslant \frac{9}{4}\Leftrightarrow\sum \frac{yz}{x+yz}\geq\frac{3}{4} $
Mặt khác $\sum\frac{yz}{x+yz}=\sum\frac{y^2z^2}{xyz+y^2z^2}\geq\frac{(\sum yz)^2}{3xyz+\sum y^2z^2} $
Cần chứng minh $\frac{(\sum yz)^2}{3xyz+\sum y^2z^2}\geq\frac{3}{4} \Leftrightarrow 4(\sum yz)^2\geq9xyz+3\sum y^2z^2 \Leftrightarrow \sum y^2z^2+8xyz(x+y+z)\geq9xyz \Leftrightarrow\sum y^2z^2 \geq xyz (*)$
(*) đúng do $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2\geq xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz(x+y+z)=xyz$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
- tritanngo99 và Kagome thích
#3
Đã gửi 02-01-2017 - 09:58
Coppy dera
-
- Thành viên
-
- 334 Bài viết
Sĩ quan
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.
Cm:
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leqslant \frac{9}{4}$
$\sum \frac{x}{x+yz}=\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq\frac{2(xy+yz+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)}=\frac{9}{4}$
- tritanngo99, doremon01, Kagome và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
