Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{1}{3a^2+(a-1)^2}+\frac{1}{3b^2+(b-1)^2}+\frac{1}{3c^2+(c-1)^2}\geq 1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{3a^2+(a-1)^2}+\frac{1}{3b^2+(b-1)^2}+\frac{1}{3c^2+(c-1)^2}\geq 1$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
vamath16

vamath16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$

ta có $xyz=1$

thay $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ vào VT ta có

$\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+4}+\frac{y^2}{y^2-2y+4}+\frac{z^2}{z^2-2z+4}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+12}=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}{x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+12}\geq \frac{x^2+y^2+z^2+6}{x^2+y^2+z^2+6}=1$( đùng bđt cô si và xyz=1)

=> đpcm



#3
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

$a^{2}+a+a+a^{4}\geq 4a^{2}$

  Dễ dàng có: $\sum \frac{1}{4a^{2}-2a+1}\geq \sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+2a-2a+1}=\sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+1}$

    Dùng bĐt Quen thuộc abc=1 => $\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 3$



#4
vamath16

vamath16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

$a^{2}+a+a+a^{4}\geq 4a^{2}$

  Dễ dàng có: $\sum \frac{1}{4a^{2}-2a+1}\geq \sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+2a-2a+1}=\sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+1}$

    Dùng bĐt Quen thuộc abc=1 => $\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 3$

bạn làm nốt bước cuối đi ( cái bđt quen thuộc yk) tks



#5
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài này có thể dùng pp UCT , chỉ cần xét $2$ trường hợp.

Trường hợp $1$: Nếu trong ba số $a,b,c$ tồn tại ít nhất một số không lớn hơn $\frac{1}{2}$.

Trường hợp $2$: Cả ba số $a,b,c$ đều không nhỏ hơn $\frac{1}{2}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#6
vamath16

vamath16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

Bài này có thể dùng pp UCT , chỉ cần xét $2$ trường hợp.

Trường hợp $1$: Nếu trong ba số $a,b,c$ tồn tại ít nhất một số không lớn hơn $\frac{1}{2}$.

Trường hợp $2$: Cả ba số $a,b,c$ đều không nhỏ hơn $\frac{1}{2}$.

UCT là gì thế anh, em mới học lớp 9 mà ???



#7
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cách của anh phù hợp với chương trình của THPT hơn.

UCT cho màu mè, đây là pp tiếp tuyến. 


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#8
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

UCT là gì thế anh, em mới học lớp 9 mà ???

  Đơn giản thôi đặt rồi cauchy Swarch bình thường a=x^2/yz và tương tự


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 02-01-2017 - 18:38





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh