Chủ đề này có 6 trả lời

[Hana Kaiso]

Cho x,y>0 va x+y=1. Tìm GTNN của:

a) $P=(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})$

b) $Q=(1+\frac{1}{x})^{2}+(1+\frac{1}{y})^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hana Kaiso: 02-01-2017 - 09:22

[PhungHieu]

a)$P= xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy}= xy+\frac{1}{16xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{15}{16xy}\geq \frac{1}{2}+2+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=$

b) Dùng bdt AM GM dựa vào kết quả câu a

[tienduc]

Cho x,y>0 va x+y=1. Tìm GTNN của:

b) $Q=(1+\frac{1}{x})^{2}+(1+\frac{1}{y})^{2}$

Ta có $Q= (\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+2$

Áp dụng BĐT $cauchy$ ta có

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}= 8$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}=4$ (BĐT $schwarz$) $\rightarrow 2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 8$

Cộng vế $\rightarrow Q\geq 18$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 02-01-2017 - 13:34

[Hana Kaiso]

Ta có $Q= (\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+2$
Áp dụng BĐT $cauchy$ ta có
$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}= 8$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}=4$ (BĐT $schwarz$) $\rightarrow 2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 8$
Cộng vế $\rightarrow Q\geq 18$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Dang thức do la gi vay. Day la một bai toan tuổi tho ma.

[tienduc]

Dang thức do la gi vay. Day la một bai toan tuổi tho ma.

Đẳng thức nào hả bạn?

 

P/s đề nghị bạn viết có dấu, đọc khó hiểu lắm

[Hana Kaiso]

Mình làm như thế này các bạn thấy có được ko:

$Q=(1+\frac{1}{x})^{2}+(1+\frac{1}{y})^{2}$

$\Rightarrow Q=(2+\frac{y}{x})^{2}+(2+\frac{x}{y})^{2}$

$\Rightarrow Q=8+(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+4(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

$\Rightarrow Q\geq 8+2+4\times 2=18$

Vậy GTNN của Q là 18 $\Leftrightarrow$ ....(tự tìm)

[tienduc]

Mình làm như thế này các bạn thấy có được ko:

$Q=(1+\frac{1}{x})^{2}+(1+\frac{1}{y})^{2}$

$\Rightarrow Q=(2+\frac{y}{x})^{2}+(2+\frac{x}{y})^{2}$

$\Rightarrow Q=8+(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+4(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

$\Rightarrow Q\geq 8+2+4\times 2=18$

Vậy GTNN của Q là 18 $\Leftrightarrow$ ....(tự tìm)

Chắc là đúng đấy