Cho $a,b,c>0$. Cm
$\sum \frac{a^{2}}{a+b} \geq \frac{\sqrt{2}}{4}.\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
CM $\sum \frac{a^{2}}{a+b} \geq \frac{\sqrt{2}}{4}.\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Bắt đầu bởi tienduc, 02-01-2017 - 14:40
#2
Đã gửi 02-01-2017 - 16:15
vamath16
-
- Thành viên mới
-
- 46 Bài viết
Binh nhất
ta có $0=a-b+b-c+c-a=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a} \Rightarrow \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{a+c}$
ta cần cm
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{a+c}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2} \right )$
thật vậy, áp dụng Bunhia $\sum (\frac{\sqrt{a+b}.\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{a+b}})^2\leq \left ( a+b+c \right ).(\sum \frac{a^2+b^2}{a+b})$
ta dễ dàng cm được $\left ( a+b+c \right )\leq \sum \frac{a^2+b^2}{a+b}$
=> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vamath16: 02-01-2017 - 16:16
- Dark Magician 2k2 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
