Đến nội dung

Hình ảnh

$x+y+z\leq xyz+2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Ngan Chery

Ngan Chery

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Chứng minh rằng $x+y+z\leq xyz+2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngan Chery: 02-01-2017 - 15:47

a


#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

BĐT c/m $\Leftrightarrow x(1-yz)+y+z \le 2$  
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky $x(1-yz)+y+z \le (x^2+(y+z)^2)(1+(1-yz)^2)=(2+2yz)(1+(1-yz)^2)$ 
Ta c/m đc với $a \le 1$ thì $(2+2yz)(1+(1-yz)^2) \le 2$ và chú ý $x^2+y^2+z^2=2 \ge y^2+z^2 \ge 2yz \Rightarrow 1 \ge yz$



#3
vamath16

vamath16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

ch

 

BĐT c/m $\Leftrightarrow x(1-yz)+y+z \le 2$  
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky $x(1-yz)+y+z \le (x^2+(y+z)^2)(1+(1-yz)^2)=(2+2yz)(1+(1-yz)^2)$ 
Ta c/m đc với $a \le 1$ thì $(2+2yz)(1+(1-yz)^2) \le 2$ và chú ý $x^2+y^2+z^2=2 \ge y^2+z^2 \ge 2yz \Rightarrow 1 \ge yz$

cho em hỏi đó có phải phương pháp chung cho nhưng bài dạng kiểu này khộng ạ, nếu có ppchung chị post lên hộ em



#4
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Bài này có nhiều cách, có thể dùng Cauchy-Schwarz, dirichle, hàm số và cả schur


:huh:


#5
vamath16

vamath16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

Bài này có nhiều cách, có thể dùng Cauchy-Schwarz, dirichle, hàm số và cả schur

nhờ bạn làm cách này bằng nhiều cách cái , tks



#6
Ngan Chery

Ngan Chery

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Bài này có nhiều cách, có thể dùng Cauchy-Schwarz, dirichle, hàm số và cả schur

Hướng dẫn em theo cách dirichlet được không ạ? Em đang định CM theo hướng là $\left ( x-1 \right )\left ( yz-1 \right )\geq 0$ (do $\left | yz \right |\leq 1$) và có ít nhất 2 số nhỏ hơn 1. Lại có $\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )\geq 0$ suy ra đpcm. Nhưng thế thì chỉ đúng với mỗi trường hợp  cả 3 số đều nhỏ hơn 1 thôi ạ, còn với trường hợp có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 thì em không biết làm thế nào


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngan Chery: 02-01-2017 - 23:21

a


#7
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Chứng minh rằng $x+y+z\leq xyz+2$

 

Cách 1: C-S:

$x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right).1\leq \sqrt{\left(x^2+\left(y+z\right)^2\right)\left(\left(1-yz\right)^2+1\right)}=\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2+2yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}=\sqrt{2\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)}$

 

$\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\leq 2\Leftrightarrow yz\leq 1$

 

$yz\leq \frac{y^2+z^2}{2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1$

 

Cách 2: 

 

 

 

Ý tưởng bạn đúng nhưng đến đó phải xử lí 1 đoạn nữa. Có thể tham khảo cách đánh giá sau của anh Dog:

 

 

Nếu $x\leqslant 0$ thì $xyz+2-x-y-z=x(yz-1)+(2-y-z)\geqslant 0$

Nếu $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ thì xét hai trường hợp

- $x\leqslant 1$ thì $xyz+2-x-y-z=(yz-1)(x-1)+(y-1)(z-1)\geqslant 0$

- $x\geqslant 1$ thì $x+y+z\leqslant \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=2\sqrt{yz+1}\leqslant yz+2\leqslant xyz+2$

 

Cách 3: Tham khảo pp này ở đây ! :)

 

Cách 4: Schur Cách này có lẽ mình nhìn nhầm, chắc có thể ra nhưng trâu bò :v 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 03-01-2017 - 10:17

:huh:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh