Chủ đề này có 5 trả lời

[nguyentinh]

Cho hai đa thức $ P\left ( x \right ),Q\left ( x \right )$ đều có nghiệm thực,thỏa mãn $P\left ( 1+x+\left [ Q\left ( x \right ) \right ] ^{2}\right )=Q\left ( 1+x+\left [ P\left ( x \right ) \right ]^{2} \right )$.

1/ Chứng minh tồn tại giá trị $a$ mà $P\left ( a \right )=Q\left ( a \right )$

2/ Chứng minh $P\left ( x \right )=Q\left ( x \right ),\forall x \in \mathbb{R}$.

[An Infinitesimal]

Cho hai đa thức $ P\left ( x \right ),Q\left ( x \right )$ đều có nghiệm thực,thỏa mãn $P\left ( 1+x+\left [ Q\left ( x \right ) \right ] ^{2}\right )=Q\left ( 1+x+\left [ P\left ( x \right ) \right ]^{2} \right )$.

1/ Chứng minh tồn tại giá trị $a$ mà $P\left ( a \right )=Q\left ( a \right )$.

 

Gọi $a$ và $b$ lần lượt là một nghiệm thực nào đó của $P$ và $Q.$

 

 Giả sử $P(x)\neq Q(x)\, \forall x\in \mathbb{R}.$  

Nếu tồn tại $y\in \mathbb{R}$ sao cho $[P(y)]^2=[Q(y)]^2$ thì tồn tại $a=1+y+[Q(y)]^2$ sao cho $P(a)=Q(a).$  

Từ đó ta có $[P(x)]^2\neq [Q(x)]^2\, \forall x\in \mathbb{R}.$

 

Vì $[P(x)]^2, [Q(x)]^2$ là các hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $[P(x)]^2-[Q(x)]^2$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}.$ 

 

Trường hợp 1: $[P(x)]^2> [Q(x)]^2\, \forall x\in \mathbb{R}.$

 

Tuy nhiên điều này không đúng với $x=a.$

 

Trường hợp 2: $[P(x)]^2< [Q(x)]^2\, \forall x\in \mathbb{R}.$

 

Tuy nhiên điều này không đúng với $x=b.$

 

Suy ra điều phải chứng minh.

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

(Nháp không cần nữa, nhưng đó ý tưởng gốc, là khởi điểm!)

 

Giả sử $P(x)\neq Q(x)\, \forall x\in \mathbb{R}.$

Vì $P, Q$ là các hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $P(x)-Q(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}.$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $P(x)-Q(x)>0 \forall x\in \mathbb{R}.$

 

 

Các bài thảo luận tiếp:

 

Bài 1:

Cho tam thức bậc hai $ P(x)={x^ 2}+px+q $. Hãy tìm tất cả các đa thức bậc bốn $ Q(x) $ có hệ số cao nhất bằng 1 sao cho

$ P(Q(x))=Q(P(x)). $ 

 

Bài 2:

 

Cho tam thức bậc hai $ P(x)=a{x^ 2}+bx+c  (a\neq 0)$. Chứng minh với số tự nhiện $ n $ tùy ý không tồn tại nhiều hơn một đa thức $ Q(x) $ bậc $ n $ thỏa mãn

$ P(Q(x))=Q(P(x)). $ 

 

 

Bài 3:

If \( P \) and \( Q \) are monic polynomials with \( P(P(x))=Q(Q(x)) \), prove that \( P\equiv Q \).

 

Bài 4:

 

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P\left(F(x) \right)=F\left(P(x) \right);P(0)=0$ với $F(x)$ là 1 đa thức cho trước thỏa mãn $F(x)>x \quad \forall x \ge 0$.

 

http://diendantoanhoc.net/topic/93486-%C4%91a-th%E1%BB%A9c-tuy%E1%BB%83n-t%E1%BA%ADp-c%C3%A1c-b%C3%A0i-to%C3%A1n-s%C6%B0u-t%E1%BA%A7m-t%E1%BB%AB-mathlinksro/

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 03-01-2017 - 22:51

[halloffame]

Trường hợp 1: $[P(x)]^2> [Q(x)]^2\, \forall x\in \mathbb{R}.$

Trường hợp 2: $[P(x)]^2< [Q(x)]^2\, \forall x\in \mathbb{R}.$

Có lẽ bạn nhầm, vì hoàn toàn có khả năng $P<Q$ tại một số giá trị $x,$ nhưng $P>Q$ tại một số giá trị $x$ khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 03-01-2017 - 10:12

[An Infinitesimal]

Có lẽ bạn nhầm, vì hoàn toàn có khả năng $P<Q$ tại một số giá trị $x,$ nhưng $P>Q$ tại một số giá trị $x$ khác.

 

Đọc phần bị "che" nhen. Mình cũng bốc phần bị che ra ngoài!

 

-------------

Nháp cho ý 2):

 

Cho hai đa thức $ P\left ( x \right ),Q\left ( x \right )$ đều có nghiệm thực,thỏa mãn $P\left ( 1+x+\left [ Q\left ( x \right ) \right ] ^{2}\right )=Q\left ( 1+x+\left [ P\left ( x \right ) \right ]^{2} \right )$. 

2/ Chứng minh $P\left ( x \right )=Q\left ( x \right ),\forall x \in \mathbb{R}$.

Nếu $\forall x\in \mathbb{R}: [P(x)]^2=[Q(x)]^2$ thì $P(x)=Q(x).$

Bằng cách bình phương 2 vế, ta qui về bài toán: Với các đa thức $\tilde{P}(x)= [P(x)]^2$ và $\tilde{Q}(x)= [Q(x)]^2$ có nghiệm thực thỏa $\tilde{P}\left(1+x+\tilde{Q}(x)\right)= \tilde{Q}\left(1+x+\tilde{P}(x)\right).$

Chứng minh rằng $\tilde{P}(x)=\tilde{Q}(x) \forall x\in \mathbb{R}.$

 

Cách chuyển bài toán này, ta có thêm thông tin $\tilde{P}(x) \ge 0$ và $\tilde{Q}(x) \ge 0 \, \forall x\in \mathbb{R}.$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 03-01-2017 - 11:05

[An Infinitesimal]

Cho hai đa thức $ P\left ( x \right ),Q\left ( x \right )$ đều có nghiệm thực,thỏa mãn $P\left ( 1+x+\left [ Q\left ( x \right ) \right ] ^{2}\right )=Q\left ( 1+x+\left [ P\left ( x \right ) \right ]^{2} \right )$.

1/ Chứng minh tồn tại giá trị $a$ mà $P\left ( a \right )=Q\left ( a \right )$

2/ Chứng minh $P\left ( x \right )=Q\left ( x \right ),\forall x \in \mathbb{R}$.

Chứng minh 2/

Với $a$ là một số thực nào đó sao cho $P\left ( a \right )=Q\left ( a \right )$ (tồn tại theo 1/).

 

Xét dãy $\{x_n\}: \begin{cases} x_1=a, \\ x_{n+1}= 1+x_n+[P(x_n)]^2\, \forall n\in \mathbb{N}.\end{cases}$

 

 

Ta thấy $P(x_n)= Q(x_n)\, \forall n \in \mathbb{N}$ và $\{x_n\}$ là dãy tăng. Do đó $P(x)=Q(x)$ tại vô số điểm (phân biệt). Do đó $P(x)=Q(x)\, \forall x\in \mathbb{R}.$

 

 

--------------------------

Ý tưởng: từ 1/ sang 2/, ta cần tìm thêm "nhiều hơn" một giá trị $x$ sao cho $P(x)=Q(x).$

[An Infinitesimal]

Cho hai đa thức $ P\left ( x \right ),Q\left ( x \right )$ đều có nghiệm thực,thỏa mãn $P\left ( 1+x+\left [ Q\left ( x \right ) \right ] ^{2}\right )=Q\left ( 1+x+\left [ P\left ( x \right ) \right ]^{2} \right )$.

1/ Chứng minh tồn tại giá trị $a$ mà $P\left ( a \right )=Q\left ( a \right )$

2/ Chứng minh $P\left ( x \right )=Q\left ( x \right ),\forall x \in \mathbb{R}$.

Chứng minh 2/

Với $a$ là một số thực nào đó sao cho $P\left ( a \right )=Q\left ( a \right )$ (tồn tại theo 1/).

 

Xét dãy $\{x_n\}: \begin{cases} x_1=a, \\ x_{n+1}= 1+x_n+[P(x_n)]^2\, \forall n\in \mathbb{N}.\end{cases}$

 

 

Ta thấy $P(x_n)= Q(x_n)\, \forall n \in \mathbb{N}$ và $\{x_n\}$ là dãy tăng. Do đó $P(x)=Q(x)$ tại vô số điểm (phân biệt). Do đó $P(x)=Q(x)\, \forall x\in \mathbb{R}.$

 

 

--------------------------

Ý tưởng: từ 1/ sang 2/, ta cần tìm thêm "nhiều hơn" một giá trị $x$ sao cho $P(x)=Q(x).$