Bài toán: Cho đường thẳng $d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{-3}$ và $(P): 7x+9y+2z-7=0$ cắt nhau. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ cách $d$ một khoảng $\dfrac{3}{\sqrt{42}}$
p/s: Gợi ý cho mình về dữ kiện khoảng cách
Sửa lại đề : Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ THUỘC $(P)$, vuông góc với $d$ và cách $d$ một khoảng $\frac{3}{\sqrt{42}}$
Gọi $(Q)$ là mặt phẳng tùy ý vuông góc với $d$ tại $I$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $t$.Ta có :
$(Q):2x-y-3z+D=0$ (1)
Từ phương trình của $(P),(Q)$ và $d$ ta suy ra :
$t:\frac{x}{1}=\frac{y-\frac{21-2D}{25}}{-1}=\frac{z-\frac{9D-7}{25}}{1}$ (2)
Và $I\left ( \frac{1-D}{7};\frac{13+D}{14};\frac{3D-3}{14} \right )$
Ta cần tìm giá trị của $D$ sao cho khoảng cách $h$ từ $I$ đến $t$ bằng $\frac{3}{\sqrt{42}}$ (khi đó $t$ chính là đường thẳng $\Delta$ cần tìm)
Biết rằng khoảng cách từ $I(x_1;y_1;z_1)$ đến $t:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ là :
$\frac{\sqrt{[c(y_1-y_0)-b(z_1-z_0)]^2+[a(z_1-z_0)-c(x_1-x_0)]^2+[b(x_1-x_0)-a(y_1-y_0)]^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Ta tính được khoảng cách từ $I\left ( \frac{1-D}{7};\frac{13+D}{14};\frac{3D-3}{14} \right )$ đến
$t:\frac{x}{1}=\frac{y-\frac{21-2D}{25}}{-1}=\frac{z-\frac{9D-7}{25}}{1}$
là $h=\frac{\sqrt{42}.\left | D+27 \right |}{1050}$
Để khoảng cách đó bằng $\frac{3}{\sqrt{42}}$, ta phải có :
$h=\frac{\sqrt{42}.\left | D+27 \right |}{1050}=\frac{3}{\sqrt{42}}\Leftrightarrow D=48$ hoặc $D=-102$
Vậy có 2 đáp án :
$\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-17}{1}$
Và :
$\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-9}{-1}=\frac{z+37}{1}$