Với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$
CMR: $\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(z+x)}{4-zx}+\frac{z(x+y)}{4-xy}\geq 2xyz$
Với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$
CMR: $\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(z+x)}{4-zx}+\frac{z(x+y)}{4-xy}\geq 2xyz$
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.
Với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$
CMR: $\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(z+x)}{4-zx}+\frac{z(x+y)}{4-xy}\geq 2xyz$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(z+x)}{4-zx}+\frac{z(x+y)}{4-xy}=\sum \frac{(xy+xz)^{2}}{x(y+z) (4-yz)}\geq \frac{4(xy+yz+zx)^{2}}{\sum x(y+z)(4-yz)}$
Mà ta có: $(xy+yz+zx)^{2}\geq 3xyz(x+y+z)=9xyz$ (Am-Gm)
$\Rightarrow \frac{4(xy+yz+zx)^{2}}{\sum x(y+z)(4-yz)}\geq \frac{36xyz}{\sum x(y+z)(4-yz)}\geq 2xyz$
$\Leftrightarrow \sum x(y+z)(4-yz)\leq 18$
Khai triển và rút gọn: $\Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z)\leq 9$
$\Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)(x+y+z)-9xyz\leq (x+y+z)^{3}$ (Do $x+y+z=3$)
$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$ (Shur bậc 3)
($\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ ~ (Am-Gm))
$\Rightarrow DPCM$ .............................
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh