Chủ đề này có 1 trả lời

[Ngo1999]

Tìm các hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

                            $\left | f(x)-f(y) \right |\leq (x-y)^{2},\forall x,y\in \mathbb{Q}$

[An Infinitesimal]

Tìm các hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

                            $\left | f(x)-f(y) \right |\leq (x-y)^{2},\forall x,y\in \mathbb{Q}$

Mở rộng $f$ thành $\tilde{f}: \mathbb{R}\to n\mathbb{R}.$

 Với $x\in \mathbb{R}$ và $\{x_n\}\subset \mathbb{Q}: \lim x_n=x$, ta định nghĩa  $\tilde{f}(x)= '\lim_{n\to \infty}' f(x_n).$

(Ta có thể sự tồn tại và 'định nghĩa tốt' cho $\tilde{f}$.)

Nhận xét:  $\tilde{f}(x)=f(x) \, \forall x\in \mathbb{Q}.$

 

Từ định nghĩa $\tilde{f}$, ta thu được

$$\left | \tilde{f}(x)-\tilde{f}(y) \right |\leq (x-y)^{2},\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Suy ra  $\tilde{f}$ là hàm liên tục, khả vi tại mọi $x\in \mathbb{R}$. Hơn nữa, $\tilde{f}'(x)=0 \forall x\in \mathbb{R}.$

Do đó $\tilde{f}(x)= C (\text{constant})\, \forall x\in \mathbb{R}.$ Suy ra ${f}(x)= C (\text{constant})\, \forall x\in \mathbb{Q}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 04-01-2017 - 00:45