Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1} \geq \sum a$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 03-01-2017 - 22:23

Với $a,b,c \geq 0$ chứng minh rằng
$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 03-01-2017 - 22:25


#2 Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nam
  • Sở thích:Math, Geography and Literature

Đã gửi 03-01-2017 - 23:12

Với $a,b,c \geq 0$ chứng minh rằng
$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$

Bạn có thể gợi ý cho mình hướng làm không

mình đặt b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z

áp dụng bất đẳng thức abc $\geq$ (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) = xyz

VP sẽ thành x+y+z còn tử số ở VT cũng đẹp nhưng mẫu số thì mình không biết làm thế nào

Mong bạn giúp đỡ  :D


Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#3 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Thành viên
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 04-01-2017 - 01:00

Với $a,b,c \geq 0$ chứng minh rằng
$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$

Nice problem ! 

Lời giải :

Để ý rằng $a+b+c=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c).$

BĐT cần chứng minh tương đương với : 

$$ \sum [\frac{abc+b+c-a}{a^2+1}-(b+c-a)] \geq 0$$

$$\frac{a(a-b)(a-c)}{a^2+1}+\frac{b(b-c)(b-a)}{b^2+1}+\frac{c(c-a)(c-b)}{c^2+1} \geq 0$$

Giả sử $a \geq b \geq c$. Theo tiêu chuẩn của bđt Vornicu Schur thì ta cần chứng minh :

$$\frac{a^2}{a^2+1} \geq \frac{b^2}{b^2+1} \Leftrightarrow a \geq b$$ Đúng theo điều đã giả sử.

Chứng minh hoàn tất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 04-01-2017 - 02:45





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh