$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 03-01-2017 - 22:25
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 03-01-2017 - 22:25
Với $a,b,c \geq 0$ chứng minh rằng
$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$
Bạn có thể gợi ý cho mình hướng làm không
mình đặt b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z
áp dụng bất đẳng thức abc $\geq$ (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) = xyz
VP sẽ thành x+y+z còn tử số ở VT cũng đẹp nhưng mẫu số thì mình không biết làm thế nào
Mong bạn giúp đỡ
Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"
---Oreki Houtarou---
Với $a,b,c \geq 0$ chứng minh rằng
$\dfrac{abc+b+c-a}{a^2+1}+\dfrac{abc+c+a-b}{b^2+1} +\dfrac{abc+a+b-c}{c^2+1} \geq a+b+c$
Nice problem !
Lời giải :
Để ý rằng $a+b+c=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c).$
BĐT cần chứng minh tương đương với :
$$ \sum [\frac{abc+b+c-a}{a^2+1}-(b+c-a)] \geq 0$$
$$\frac{a(a-b)(a-c)}{a^2+1}+\frac{b(b-c)(b-a)}{b^2+1}+\frac{c(c-a)(c-b)}{c^2+1} \geq 0$$
Giả sử $a \geq b \geq c$. Theo tiêu chuẩn của bđt Vornicu Schur thì ta cần chứng minh :
$$\frac{a^2}{a^2+1} \geq \frac{b^2}{b^2+1} \Leftrightarrow a \geq b$$ Đúng theo điều đã giả sử.
Chứng minh hoàn tất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 04-01-2017 - 02:45
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh