Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 01634908884

01634908884

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Phát triển bản thân;toán học;đọc sách;du lịch; yêu mọi người

Đã gửi 04-01-2017 - 15:32

Cho a,b,c dương$abc=1$

CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$


. Mây tầng nào gặp gió tầng ấy. :D 


#2 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 543 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Học viện báo chí và tuyên truyền

Đã gửi 04-01-2017 - 16:32

Cho a,b,c dương$abc=1$

CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

http://diendantoanho...ac1c23geq-2abc/



#3 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 04-01-2017 - 16:43

Cho a,b,c dương$abc=1$

CMR$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

 

Do $abc=1$ nên trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn $1$ hoặc cùng bé hơn $1$. (Nguyên lí Dirichlet)

 

Gải sử đó là $a$ và $b$:

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} (a^{2}-1)(b^{2}-1)\geq 0 & \\ (a-1)(b-1)\geq 0 & \end{bmatrix}$

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} a^{2}b^{2}+1\geq a^{2}+b^{2} & \\ ab+1\geq a+b & \end{bmatrix}$

 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+(a^{2}b^{2}+1)+2\geq (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})+2+(a^{2}+b^{2})\geq \frac{2}{ab}+2+2ab=2(ab+1+c)$                

(Am-Gm)

 

Mà $a+b\leq ab+1\Rightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+1+c)$

 

$\Rightarrow ĐPCM$

 

............................

 

 $"="$ ~ $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 04-01-2017 - 16:45

:huh:

#4 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 04-01-2017 - 23:21

Đặt $(a,b,c) \rightarrow \left( \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z} \right)$
Ta biến đổi bđt cần cm về
$$x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+xz)$$
Bất đẳng thức cuối quen thuộc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 04-01-2017 - 23:22





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh