Chủ đề này có 1 trả lời

[xuantungjinkaido]

L là điểm Lemoine của tam giác ABC.Ao,Bo,Co là trung điểm BC,CA,AB.A1,B1,C1 là trung điểm LAo,LBo,LCo.Chứng Minh AA1,BB1,CC1 đồng quy

[Subtract Zero]

Gọi $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ cắt $BC,CA,AB= A_{2},B_{2},C_{2}$

Ta có L là điểm Lemoine của $\Delta$ ABC

$\Rightarrow a^2\vec{LA}+b^2\vec{LB}+c^2\vec{LC}=0\Leftrightarrow a^2\vec{LA}+b^2(\vec{LA}+\vec{AB})+c^2(\vec{LA}+\vec{AC})=0\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)\vec{AL}=b^2\vec{AB}+c^2\vec{AC}\Leftrightarrow \vec{AL}=\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\vec{AB}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\vec{AC}$

Ta có

$AA_1=\frac{1}{2}(\vec{AL}+\vec{AA_0})=\frac{1}{2}(\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\vec{AB}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC})=\frac{1}{2}(\frac{a^2+c^2+3b^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\vec{AB}+\frac{a^2+b^2+3c^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\vec{AC})$

$\Rightarrow \frac{\overline{A_2B}}{\overline{A_2C}}=\frac{-(a^2+b^2+3c^2)}{a^2+c^2+3b^2}$

Thiết lập ba đẳng thức tương tự với $\frac{\overline{B_2C}}{\overline{B_2A}},\frac{\overline{C_2A}}{\overline{C_2B}}$ rồi nhân vào, theo định lý Ceva, ta có đpcm