Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ cạnh bằng $1$. Trên cạnh $BC_{1}$ láy điểm $M$ sao cho các vectơ $\underset{D_{1}M}{\rightarrow}, \underset{DA_{1}}{\rightarrow}, \underset{AB_{1}}{\rightarrow}$ đồng phẳng. Tính diện tích tam giác $MAB_{1}.$
Gọi E là giao điểm của $AD_1$ và $A_1D$
$D_1M, DA_1, AB_1$ đồng phẳng
mà $DC_1 //AB_1$
$\Rightarrow D_1M, DA_1, DC_1$ đồng phẳng
$\Rightarrow D_1M // mp(DA_1C_1)$ (1)
mà $D_1M$ thuộc mp($ABC_1D_1$) (2)
và $EC_1$ là giao tuyến giữa $(DA_1C_1)$ và $(ABC_1D_1)$ (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow D_1M //EC_1$
mà $ED_1 //C_1M$
$\Rightarrow EC_1MD_1$ là hình bình hành
$\Rightarrow C_1M =ED_1 =\frac12AD_1 =\frac12BC_1$
hạ MF vuông góc $BB_1$ tại F
hạ FG vuông góc $AB_1$ tại G(4)
có $MF //B_1C_1$
$\Rightarrow MF\perp (ABB_1A_1)$
$\Rightarrow MF\perp AB_1$ (5)
từ (4, 5)$\Rightarrow AB_1\perp (MFG)$
$\Rightarrow MG\perp AB_1$
gọi I là giao của $AB_1$ và $A_1B$
ta có $\frac{B_1F}{B_1B} =\frac{C_1M}{C_1B} =\frac12$
mà $FG //BI$
$\Rightarrow FG =\frac12BI =\frac14BA_1 =\frac{\sqrt2}4$
$\frac{FM}{B_1C_1} =\frac{BM}{BC_1} =\frac32$
$\Rightarrow FM =\frac32$
$MG^2 =FM^2 +FG^2 =\frac{38}{16}$
$\Rightarrow MG =\frac{\sqrt{38}}4$
$S_{MAB_1} =\frac12 .AB_1 .MG =\frac{\sqrt{19}}4$