Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sqrt[3]{(a+m)(b+n)(c+p)}\geq \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
misakichan

misakichan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Cho a, b, c, m, n, p>0

CMR: $\sqrt[3]{(a+m)(b+n)(c+p)}\geq \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp}$



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Chỉ cần dùng Holder.

Ta có: $(a+m)(b+n)(c+p)=(a+\frac{m}{2}+\frac{m}{2})(b+\frac{n}{2}+\frac{n}{2})(c+\frac{p}{2}+\frac{p}{2})$

$\geq (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\frac{mnp}{8}}.2)^3=(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp})^3$

Vậy ta có đpcm.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

Cho a, b, c, m, n, p>0

CMR: $\sqrt[3]{(a+m)(b+n)(c+p)}\geq \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp}$

Bất đẳng thức cần cm tương đương với 

$\sqrt[3]{\frac{a}{a+m}.\frac{b}{b+n}.\frac{c}{c+p}}+\sqrt[3]{\frac{m}{a+m}.\frac{n}{b+n}.\frac{p}{c+p}}\leq 1$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có 

$\sqrt[3]{\frac{a}{a+m}.\frac{b}{b+n}.\frac{c}{c+p}}\leq \frac{\frac{a}{a+m}+\frac{b}{b+n}+\frac{c}{c+n}}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{m}{a+m}.\frac{n}{b+n}.\frac{p}{c+p}}\leq \frac{\frac{m}{a+m}+\frac{n}{b+n}+\frac{p}{c+p}}{3}$

Cộng vế có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 05-01-2017 - 21:04





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh