Cho a, b, c, m, n, p>0
CMR: $\sqrt[3]{(a+m)(b+n)(c+p)}\geq \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp}$
Cho a, b, c, m, n, p>0
CMR: $\sqrt[3]{(a+m)(b+n)(c+p)}\geq \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp}$
Chỉ cần dùng Holder.
Ta có: $(a+m)(b+n)(c+p)=(a+\frac{m}{2}+\frac{m}{2})(b+\frac{n}{2}+\frac{n}{2})(c+\frac{p}{2}+\frac{p}{2})$
$\geq (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\frac{mnp}{8}}.2)^3=(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp})^3$
Vậy ta có đpcm.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Cho a, b, c, m, n, p>0
CMR: $\sqrt[3]{(a+m)(b+n)(c+p)}\geq \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{mnp}$
Bất đẳng thức cần cm tương đương với
$\sqrt[3]{\frac{a}{a+m}.\frac{b}{b+n}.\frac{c}{c+p}}+\sqrt[3]{\frac{m}{a+m}.\frac{n}{b+n}.\frac{p}{c+p}}\leq 1$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\sqrt[3]{\frac{a}{a+m}.\frac{b}{b+n}.\frac{c}{c+p}}\leq \frac{\frac{a}{a+m}+\frac{b}{b+n}+\frac{c}{c+n}}{3}$
$\sqrt[3]{\frac{m}{a+m}.\frac{n}{b+n}.\frac{p}{c+p}}\leq \frac{\frac{m}{a+m}+\frac{n}{b+n}+\frac{p}{c+p}}{3}$
Cộng vế có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 05-01-2017 - 21:04
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh