Chủ đề này có 1 trả lời

[The Flash]

Ba số dương thỏa mãn: $xy+yz+zx\leq 3xyz$. Chứng minh:

$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

[vamath16]

đặt $x=a^6;y=b^6;z=c^6$

ta có $\frac{1}{a^6}+\frac{1}{b^6}+\frac{1}{c^6}\leq 3$

cần cm

$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

thật vậy ta có

$a^4+b^4+c^4\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^2+b^2+c^2}$

lại có

$a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\geq \frac{a+b+c}{3}$\

cần cm $a+b+c\geq 3$

ta lại có

$(\frac{1}{a^6}+\frac{1}{b^6}+\frac{1}{c^6})\geq (\frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^6}{3^5})$

nên $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 3$

=>$a+b+c\geq 3$ ( đúng)

=> đpcm