Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 9 vòng 2 TP.Vinh


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
datdo

datdo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH LỚP 9 NĂM 2016-2017

THÀNH PHỐ VINH

 

Câu 1: (4,5đ)

a) Giải pt nghiệm nguyên: $2y^{2}x+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$

b) Cho a,b,c,d,e là 5 số tự nhiên thỏa mãn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+e^{4}=2009^{2008}$

Chứng minh tích abcde chia hết cho $10^{4}$

Câu 2: (4,5đ)

a) Giải pt: $x^{2}-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$

b) Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017))

Câu 3: (4đ)

Tìm min, max của: $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

   biết x,y,z là các số thực không âm và x+y+z=4 

Câu 4: (6đ)

Cho tam giác ABC cân có $\measuredangle ABC=120$ nội tiếp (O). Tiếp tuyến qua A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Đường thẳng DO lần lượt cắt AB,AC tại E,F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. H là giao điểm của đường thẳng AO và (O). CMR:

a) EA=2EB và E,H,N thẳng hàng

b) AO, MF, NE đồng quy

Câu 5: (1đ)

Cho AB cố định. C là 1 điểm chuyển động trên nửa đ.tròn đường kính AB. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC tại M,N. Tìm vị trị của C để MN đạt giá trị lớn nhất

 


 


#2
frozen2501

frozen2501

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

$2y^{2}x+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-1 \right )-(2y^{2}x-2y^{2})+(xy-y)=x$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+1-2y^{2}+y)=x$

Nếu x-1=0 => y=1

Nếu $x-1\neq 0$

$\Leftrightarrow x+1-2y^{2}+y=\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$

=> x-1 là ước của 1 

Từ đó tìm ra nghiệm của phương trình 


Every thing will be alright


#3
datdo

datdo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

$2y^{2}x+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-1 \right )-(2y^{2}x-2y^{2})+(xy-y)=x$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+1-2y^{2}+y)=x$

Nếu x-1=0 => y=1

Nếu $x-1\neq 0$

$\Leftrightarrow x+1-2y^{2}+y=\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$

=> x-1 là ước của 1 

Từ đó tìm ra nghiệm của phương trình 

Có cách tách khác nhé :))

1a) $2y^{2}x-2y^{2}-x^{2}+x-xy+y=-1$

$2y^2(x-1)-x(x-1)-y(x-1)=-1$
$(x-1)(2y^2-x-y)=-1$

 


#4
TRAN PHAN THAI ANH

TRAN PHAN THAI ANH

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

1b gọi r là số dư khi chia  abcde cho $10^{4}$

ta có $2009^{2}\equiv 1(mod 5)\Rightarrow 2009^{2008}\equiv 1(mod 5)$

Từ đây ta nhận xét rằng a=b=c=d=e thì nó không phải là nghiêm của $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+e^{4}=2009^{2008}$

Áp dụng BĐt AM-GM

ta có $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+e^{4}\geq 5a^{4}b^{4}c^{4}d^{4}e^{4}> 5abcde$( vì dấu bằng không xảy ra)

Suy ra $10^{4}\leq abcd< \frac{2009^{2008}}{5}\Rightarrow 0\leq r< 1(mod 10^{4})$

mà r phải là một số tự nhiên vì a,b,c,d,e là các số tự nhiên

nên r=o đồng nghĩa là abcde $\vdots$ 10$10^{4}$(DPCM)

 



#5
TRAN PHAN THAI ANH

TRAN PHAN THAI ANH

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Bài 2 

$x^{2}-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}\Leftrightarrow (x+3)^{2}+\sqrt{x+3}= (1+\sqrt{1+8x})^{2}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$

Đặt a=$\sqrt{x+3},b= \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$,a,b$\geq 0$

phương trình tương đương

$a^{4}+a=b^{4}+b\Leftrightarrow (a-b)\left [ (a+b)(a^{2}+b^{2})+1 \right ]= 0$

vì $(a+b)(a^{2}+b^{2}+1)>0$ nên chỉ có trường hợp là a=b

suy ra $\sqrt{x+3}= \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$$\Leftrightarrow x+2= \sqrt{1+8x}\Rightarrow x^{2}-4x+3= 0\Leftrightarrow x= 1 hoặc x=3

Vậy $S= \left \{ 1,3 \right \}$



#6
Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

 

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH LỚP 9 NĂM 2016-2017

THÀNH PHỐ VINH

 

 

Câu 4: (6đ)

Cho tam giác ABC cân có $\measuredangle ABC=120$ nội tiếp (O). Tiếp tuyến qua A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Đường thẳng DO lần lượt cắt AB,AC tại E,F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. H là giao điểm của đường thẳng AO và (O). CMR:

a) EA=2EB 

 

 

Đọc qua chỉ biết làm câu này:

 Dễ chứng minh được:

  • $\Delta ABC$ cân tại $B$
  • $ABCO$ là hình thoi
  • $\Delta ABD$ là các tam giác vuông có 1 góc $30^{\circ}$

Do đó: $\frac{EB}{EA}=\frac{DB}{AO}=\frac{DB}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow EA=2EB$

 

Hình gửi kèm

  • hinh1.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 08-01-2017 - 04:01

Success doesn't come to you. You come to it.


#7
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

Câu 4: (6đ)

Cho tam giác ABC cân có $\measuredangle ABC=120$ nội tiếp (O). Tiếp tuyến qua A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Đường thẳng DO lần lượt cắt AB,AC tại E,F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. H là giao điểm của đường thẳng AO và (O). CMR:

b) AO, MF, NE đồng quy

Mượn tạm cái nình của anh Cuongpa :D

Từ phần $(a)$ dễ dàng suy ra được: $\frac{ME}{MA}=\frac{1}{3}$

Mặt khác, $\frac{HA}{HO}=2,$ và $\frac{FO}{FE}=\frac{AO}{AE}=\frac{AB}{AE}=\frac{3}{2}$

Do đó: $\frac{ME}{MA}.\frac{HA}{HO}.\frac{FO}{FE}=1.$ Áp dụng định lí $Menelaus$ cho $\Delta AEO$ ta được $M,F,H$ thẳng hàng. Suy ra đpcm.


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#8
datdo

datdo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Câu 4:

a) Cách khác  :D  :D

Dễ dàng chứng minh được ABD là tam giác vuông

Mà $\measuredangle DBA=60$ => $\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$

Mặt khác: AB=AO(ABO là tam giác đều)

=> $\frac{BD}{AO}=\frac{1}{2}$

=> $\frac{EB}{EA}=\frac{BD}{AO}=\frac{1}{2}$ (vì BD//AO)


 


#9
danglamvh

danglamvh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Câu max, min
Tìm min áp dụng bđt căn(1+x)+căn(1+y) >=1+căn(1+x+y) dấu = xảy ra khi x.y>=0
Min bằng 5 khi x=4 và y=z=0

#10
danglamvh

danglamvh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Nhầm một chút bđt luôn đúng với xy>=0 dấu bằng xảy ra khi xy=0

#11
datdo

datdo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Câu 3:

Max  :D  :D

$P=\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{12x+6}+\frac{1}{2}\sqrt{12y+4}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{12z+3}$
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a ta có:
$P^{2} \leq  (\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3})(12x+6+12y+4+12z+3)$
          = $ \frac{3}{4} 61 = \frac{183}{4}$
=> $P \leq \frac{\sqrt{183}}{2}$
Dấu ''=''... <=> tính hơi lâu  :D  :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datdo: 08-01-2017 - 09:10

 


#12
Euclid2

Euclid2

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

nốt ý 2 phần a bài hình :D 
có : HA/HO . NO/NB . BE/EA = 2.1.1/2 = 1 => E ,N , H thẳng hàng ( định lí Menelaus đảo )



#13
datdo

datdo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Câu 4:

4a) Chứng minh E,N,H thẳng hàng (cách khác):

Ta có: ONH=180-NOH-AHE=180-120-AHE=60-AHE(1)

          BNE=180-EBN-BEN=180-60-BEN=120-BEN=120-(180-AEN)=120-[180-(180-EAN-AHE)]=120-[180-(180-60-AHE)]=60-AHE(2)

Từ (1) và (2) => ONH=BNE

=> E,N,H thẳng hàng  :D


 


#14
Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

 

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH LỚP 9 NĂM 2016-2017

THÀNH PHỐ VINH

 

Câu 1: (4,5đ)

a) Giải pt nghiệm nguyên: $2y^{2}x+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$

b) Cho a,b,c,d,e là 5 số tự nhiên thỏa mãn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+e^{4}=2009^{2008}$

Chứng minh tích abcde chia hết cho $10^{4}$

Câu 2: (4,5đ)

a) Giải pt: $x^{2}-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$

b) Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017))

Câu 3: (4đ)

Tìm min, max của: $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

   biết x,y,z là các số thực không âm và x+y+z=4 

Câu 4: (6đ)

Cho tam giác ABC cân có $\measuredangle ABC=120$ nội tiếp (O). Tiếp tuyến qua A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Đường thẳng DO lần lượt cắt AB,AC tại E,F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. H là giao điểm của đường thẳng AO và (O). CMR:

a) EA=2EB và E,H,N thẳng hàng

b) AO, MF, NE đồng quy

Câu 5: (1đ)

Cho AB cố định. C là 1 điểm chuyển động trên nửa đ.tròn đường kính AB. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC tại M,N. Tìm vị trị của C để MN đạt giá trị lớn nhất

 

Hình như còn mỗi bài cuối nên mình chém nốt  :D

Không biết làm như này có đúng không  :(

Dễ thấy CMIN là hình vuông

$MN=\sqrt{2}.CM=\frac{\sqrt{2}}{2}.\left (CA+CB-AB \right )\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{2(CA^2+CB^2)}-2R \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2.4R^2}-2R)=(2-\sqrt{2})R$

Vậy $MNmax=(2-\sqrt{2})R$ khi C là điểm chính giữa cung


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Subtract Zero: 08-01-2017 - 12:24

Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#15
danglamvh

danglamvh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

câu2b) Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017))

Từ gt suy ra P(x)=P(1-x) và P(1)=P(0)=0 suy ra tổng các hệ số bằng 0 mà các hệ số là số tự nhiên suy ra P(x)=0 với mọi x 

P(P(2017))=P(0)=0






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh