Chủ đề này có 9 trả lời

[thuydunga9tx]

Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$

[PlanBbyFESN]

Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$

 

$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(4b-a)=\frac{19b^3-a^3-(ab+5b^{2})(4b-a)}{ab+5b^2}=\frac{-(a-b)^{2}(a+b)}{ab+5b^2}\leq 0$

.............

 

Tượng tự cộng vế theo vế ta có ĐPCM!

[thuydunga9tx]

$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(4b-a)=\frac{19b^3-a^3-(ab+5b^{2})(4b-a)}{ab+5b^2}=\frac{-(a-b)^{2}(a+b)}{ab+5b^2}\leq 0$
.............
 
Tượng tự cộng vế theo vế ta có ĐPCM!

Chị làm chi tiết hết cả bài giúp em đc ko???

[PlanBbyFESN]

Chị làm chi tiết hết cả bài giúp em đc ko???

 

Vậy là chi tiết lắm rồi mà 

 

 

Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$

 

Xét 

 

 

$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(4b-a)=\frac{19b^3-a^3-(ab+5b^{2})(4b-a)}{ab+5b^2}=\frac{a^{2}b+ab^{2}-a^{3}-b^{3}}{ab+5b^{2}}=\frac{ab(a+b)-(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{ab+5b^{2}}=\frac{-(a-b)^{2}(a+b)}{ab+5b^2}\leq 0$

 

$\Rightarrow \frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (4b-a)$

 

Tương tự ta có:  $\begin{bmatrix} \{\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}\leq 4c-b & \\ \frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 4a-c & \end{bmatrix}$

 

Cộng vế theo vế: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 4(a+b+c)-(a+b+c)=3(a+b+c)$   (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 06-01-2017 - 20:23

[thuydunga9tx]

$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(4b-a)=\frac{19b^3-a^3-(ab+5b^{2})(4b-a)}{ab+5b^2}=\frac{-(a-b)^{2}(a+b)}{ab+5b^2}\leq 0$
.............
 
Tượng tự cộng vế theo vế ta có ĐPCM!

Cho em hỏi làm sao chị biết đc là phải thêm $-(4b-a)$

[PlanBbyFESN]

Cho em hỏi làm sao chị biết đc là phải thêm $-(4b-a)$

 

 

Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$

 

Đặt: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (m+3)b-ma$ 

 

Sở dĩ có thể đặt như này vì dễ đoán dấu bằng của BĐT là $a=b=c$, biến trong biểu thức là $a$ và $b$, và giá trị của 2 biểu thức tại dấu bằng là bằng nhau!

 

Khi đó quy đồng lên ta được:

$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(m+3)b-ma=\frac{-a^{3}-(5m-4)b^{3}+ma^{2}b+(4m-3)ab^{2}}{ab+5b^{2}}$

 

Nhìn biến số ta liên tưởng đến hệ thức $a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}=(a-b)^{2}(a+b)$ .

 

Thay vào ta được $m=1$. Tức là: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (1+3)b-1a=4b-a$

 

Đó là cách tư duy của chị. Em có thể tham khảo Phương Pháp UCT  để nắm chắc hơn!

-----------------------------------------------

Một bài tương tự, em hãy tự thử sức:

 

Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c$

 

hệ số sẽ là 2b-a

[thuydunga9tx]

Đặt: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (m+3)b-ma$

Sở dĩ có thể đặt như này vì dễ đoán dấu bằng của BĐT là $a=b=c$, biến trong biểu thức là $a$ và $b$, và giá trị của 2 biểu thức tại dấu bằng là bằng nhau!

Khi đó quy đồng lên ta được:
$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(m+3)b-ma=\frac{-a^{3}-(5m-4)b^{3}+ma^{2}b+(4m-3)ab^{2}}{ab+5b^{2}}$

Nhìn biến số ta liên tưởng đến hệ thức $a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}=(a-b)^{2}(a+b)$ .

Thay vào ta được $m=1$. Tức là: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (1+3)b-1a=4b-a$

Đó là cách tư duy của chị. Em có thể tham khảo Phương Pháp UCT để nắm chắc hơn!
-----------------------------------------------
Một bài tương tự, em hãy tự thử sức:

Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
$\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c$

hệ số sẽ là 2b-a

Cảm ơn chị nhiều nhé!! Để em thử xem sao!

[vamath16]

Đặt: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (m+3)b-ma$ 

 

Sở dĩ có thể đặt như này vì dễ đoán dấu bằng của BĐT là $a=b=c$, biến trong biểu thức là $a$ và $b$, và giá trị của 2 biểu thức tại dấu bằng là bằng nhau!

 

Khi đó quy đồng lên ta được:

$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(m+3)b-ma=\frac{-a^{3}-(5m-4)b^{3}+ma^{2}b+(4m-3)ab^{2}}{ab+5b^{2}}$

 

Nhìn biến số ta liên tưởng đến hệ thức $a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}=(a-b)^{2}(a+b)$ .

 

Thay vào ta được $m=1$. Tức là: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (1+3)b-1a=4b-a$

 

Đó là cách tư duy của chị. Em có thể tham khảo Phương Pháp UCT  để nắm chắc hơn!

-----------------------------------------------

Một bài tương tự, em hãy tự thử sức:

 

Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c$

 

hệ số sẽ là 2b-a

cho em hỏi sao là m+3 ??

[Element hero Neos]

cho em hỏi sao là m+3 ??

Vì $VP$ có $3(a+b+c)$, mà hệ số của $a$ là $m$ nên của $b$ phải là $-(m+3)$ để sau khi cộng vế với vế nó sẽ đủ.

[tienduc]

Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$

Cách khác 

Ta có $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\rightarrow a^{3}+20b^{3}\geq ab(a+b)+19b^{3}$

$\rightarrow 20b^{3}-ab(a+b)\geq 19b^{3}-a^{3}$

$\rightarrow 19b^{3}-a^{3}\leq (ab+5b^{2})(4b-a)$

$\rightarrow \frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq 4b-a$

TT $\frac{19c^{3}-b^{3}}{cb+5c^{2}}\leq 4a-c;\frac{19a^{3}-c^{3}}{ac+5a^{2}}\leq 4a-c$

Cộng vế $\rightarrow VT \leq 3(a+b+c)$