Chủ đề này có 1 trả lời

[Cis]

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, nội tiếp $(O)$. Tiếp điểm với $(I)$ trên $BC, CA, AB$ theo thứ tự là $D, E, F$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ tự $D$ xuống $EF$.$ AH$ cắt $(O)$ tại $G$. Tiếp tuyến tại $G$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. Chứng minh $\Delta TDG$ cân.

[manhhung2013]

Dễ có HD phân giác $\widehat{BHC}$$\Rightarrow \Delta FHB\sim \Delta EHC(c.g.c)$

$\Rightarrow \frac{EH}{EF}=\frac{BF}{CE}= \frac{BD}{CD}=\frac{BM}{CM}$

Lấy M, N thuộc AG sao cho tam giác AFM đồng dạng tam giác AGB và tam giác ANE đồng dạng tam giác ACG.
$\Rightarrow \widehat{AMF}=\widehat{ABG}; \widehat{ANE}=\widehat{ACG} \Rightarrow \widehat{AMF}+\widehat{ANE}=\widehat{ABG}+\widehat{ACG}=180^{\circ}\Rightarrow FM//EN$
các tam giác đồng dạng ta có:
$\frac{FM}{BG}=\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AG}=\frac{EN}{CG} \Rightarrow \frac{FM}{EN}=\frac{BG}{CG}$
Thales:$\frac{FM}{EN}=\frac{HF}{HE}=\frac{BD}{CD}$

$\Rightarrow \frac{BG}{CG}=\frac{BD}{CD}$ dẫn đến GD là phân giác góc BGC.

$\widehat{BGD}=\widehat{CGD}$. Mặt khác: $\widehat{TGB}=\widehat{TCG}\Rightarrow \widehat{TGB}+\widehat{BGD}=\widehat{TCG}+\widehat{DGC}\Rightarrow \widehat{TGD}=\widehat{TDG}$ cho nên tam giác TAG cân (đpcm).