Đến nội dung

Hình ảnh

$x^2+y^2+z^2=p.t$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Bài toán 1: Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh tồn tại các số $x,y,z,t$ thỏa mãn :

$x^2+y^2+z^2=p.t$ (Với $0<t<p$)

Bài toán 2: Cho các số nguyên $a,b,c$ lớn hơn 1. Chứng minh rằng nếu với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại $k$ sao cho $a^k+b^k=2c^n$ thì $a=b$

Bài toán 3: Cho a,b,c là các số nguyên và $a \neq 0$ sao cho $an^2+bn+c$ là số chính phương với mọi $n>2013^{2014}$.

Chứng minh rằng tồn tại $x,y$ nguyên sao cho : $a=x^2,b=2xy,c=y^2$



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 664 Bài viết

Bài toán 1: Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh tồn tại các số $x,y,z,t$ thỏa mãn :

$x^2+y^2+z^2=p.t$ (Với $0<t<p$)

 

 

ta chỉ cần xét $x,y,z$ theo $\left ( \mod\ p \right )$ và khi thay $x$ bởi $p-x$ nên ta chỉ cần xét với $x,y,z< \frac{p}{2}$

Đặt $\mathcal{S}$ là tập bình phương các số dư thì khi đó $\left | \mathcal{S} \right |=\frac{p+1}{2}$

theo định lý $\text{Cauchy-Dacenport}$ ta có

$\left | \mathcal{S}+\mathcal{S}+\mathcal{S} \right |\geq \min\left \{ p,3\left | \mathcal{S} \right |-2 \right \}=\min\left \{ p,3.\frac{p+1}{2}-2 \right \}=p$

do đó 

$\exists t_p:x^2+y^2+z^2=pt_p$

$\Rightarrow t_p=\frac{x^2+y^2+z^2}{p}<\frac{3.\left ( \frac{p}{2} \right )^2}{p}$

do đó ta chỉ cần chọn $t=t_p$

 

Bài toán 2: Cho các số nguyên $a,b,c$ lớn hơn 1. Chứng minh rằng nếu với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại $k$ sao cho $a^k+b^k=2c^n$ thì $a=b$

File gửi kèm  analysis against number theory.pdf   183.25K   240 Số lần tải

em xem ở $\text{Example}\ 3$ nhé

 

Bài toán 3: Cho a,b,c là các số nguyên và $a \neq 0$ sao cho $an^2+bn+c$ là số chính phương với mọi $n>2013^{2014}$.

Chứng minh rằng tồn tại $x,y$ nguyên sao cho : $a=x^2,b=2xy,c=y^2$

đây là bài toán khá nổi tiếng

em có thể tham khảo $\text{Example}\ 2$ cùng file trên và cũng một lời giải khác ở đây,ý nghĩa bài toán nó đơn thuần chỉ cần vô hạn và phủ nên 2 lời giải trên đều có thể dùng được


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Bài 1 có cách khác đơn giản như này
với $p=2$ thì dễ có đpcm 
$p>2$ . Xét $2$ tập $A=\{x^2\},x \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\},B=\{-1-y^2},y \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}$
Dễ chứng minh các phân tử của $A$ và $B$ đôi một phân biệt modulo $p$. Chú ý $cardA+cardB=p+1>p$ 
Nên tồn tại $x_0 \in A,y_0 \in B$ sao cho $x_0^2 \equiv -1-y_0^2 \mod{p}$ 
Dễ chứng minh $\frac{x_0^2+y_0^2+1}{p}<p$ từ đó chọn $x_0=x,y_0=y,z=1$



#4
ngocanh69

ngocanh69

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

 \displaystyle{A=\{x^2\},x \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\},B=\{-1-y^2},y \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}}\displaystyle{A=\{x^2\},x \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\},B=\{-1-y^2},y \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}}

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh