Giả sử $A,B$ là hai tập mở đối với tôpô trên $X, A\cap B=\varnothing$ . Chứng minh rằng: $(\bar{A})^{\circ}\cap (\bar{B})^{\circ}=\varnothing$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-01-2017 - 11:19
Giả sử $A,B$ là hai tập mở đối với tôpô trên $X, A\cap B=\varnothing$ . Chứng minh rằng: $(\bar{A})^{\circ}\cap (\bar{B})^{\circ}=\varnothing$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-01-2017 - 11:19
Bổ đề : Nếu $U,V$ là hai tập mở bất kì sao cho $U \cap V = \varnothing$ thì $\overline{U} \cap V = \varnothing$ .
Chứng minh :
Giả sử $x \in \overline{U} , V$ thế thì do $\overline{U} = U \cup U^{d}$ , hiển nhiên khi này $x \in U^{d}$ do đó mọi lân cận của $x$ có giao khác rỗng , ngoại trừ $x$ với $U$ . Nhưng $V$ là tập mở nên $V$ chứa một lân cận của $x$ nên vô lý . Vậy bổ đề được chứng minh .
Ta giả sử kết luận sai . Thế thì gọi $x$ thuộc phần giao . Tồn tại hai lân cận của $x$ là $X,Y$ trong $\overline{A},\overline{B}$ . Nhưng ta lại thấy $\overline{T} = T \cup T^{d} , A \cap B = \varnothing$ nên ta chỉ cần xét trường hợp $x \in A^{d}, B^{d}$ . Khi đó tồn mọi lân cận của $x$ đều giao khác rỗng với $A$ ( loại trừ $x$ ) . Như vậy $(Y \subset \overline{B} )\cap A \neq \varnothing$ . Trái bổ đề nên có dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-01-2017 - 11:59
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Giả thiết $A\cap B=\varnothing$ tương đương $$A\subset X\setminus B.$$
Vì $X\setminus B$ là đóng nên
$$\overline{A} \subset X\setminus B,$$
Suy ra
$$(\overline{A})^{o} \subset X\setminus B,$$
Tương đương với
$$ (\overline{A})^{o} \cap B =\varnothing,$$
Tương tự trên, vì $(\overline{A})^{o}$ mở nên ta có dãy suy luận
$$B\subset X\setminus (\overline{A})^{o}$$
$$\overline{B} \subset X\setminus (\overline{A})^{o}$$
$$(\overline{B})^{o} \subset X\setminus (\overline{A})^{o}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 08-01-2017 - 13:23
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh