Cho $A$ là ma trận vuông thực có các trị riêng $\lambda_k>0$ và $\lambda_0=\min\left\{\lambda_k\right\}$.
Chứng minh rằng: $$(A u, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left| u\right|^2, \; \forall u$$
trong đó
$$\left(u, v\right)_{L_2(\Omega)}=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega}u.vdx$$
Xin phát biểu đề bài một cách rõ ràng.
Cho $A\in M_n(\mathbb{R})$ thỏa mọi trị riêng $\lambda_i,\, i=1, 2, ..., n$ của $A$ đều là số thực dương. Đặt $\lambda_0: = \min\{\lambda_k: k=1, 2, ..., n\}. $ Chứng minh rằng
$$(A u, u)_{(L_2(\Omega))^n}\geq\lambda_0\left\| u\right\|_{L^2(\Omega}^2, \; \forall u\in (L^2(\Omega))^n,$$ $\left(u, v\right)_{(L_2(\Omega))^{n}}=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega}u.vdx$ với $u.v$ được hiểu là tích vô vô hướng trong $\mathbb{R}^n$.
Phát biểu rõ ràng và mọi thứ cũng trở nên dễ dàng. Tồn tại các vector riêng $v_k$, tương ứng trị riêng $\lambda_k$, của ma trận $A$ tạo thành cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{R}^n.$ Khi đó, ta biểu diễn
$$ u(x)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_i(x) v_i hkn.$$
Từ biểu diễn này, ta dẫn ngay đến điều cần chứng minh.