Đến nội dung

Hình ảnh

$(Au, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left|u\right|^2, \; \forall u$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Cho $A$ là ma trận vuông thực có các trị riêng $\lambda_k>0$ và $\lambda_0=\min\left\{\lambda_k\right\}$.

Chứng minh rằng: $$(A u, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left| u\right|^2, \; \forall u$$

trong đó

$$\left(u, v\right)_{L_2(\Omega)}=\int_{\Omega}uvdx$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 09-01-2017 - 17:14

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Cho $A$ là ma trận vuông có các trị riêng $\lambda_k>0$ và $\lambda_0=\min\left\{\lambda_k\right\}$.

Chứng minh rằng: $$(Au, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left|u\right|^2, \; \forall u$$

trong đó

$$\left(u, v\right)_{L_2(\Omega)}=\int_{\Omega}uvdx$$

Ma trận mà có thể định nghĩa  $Au$ sao?

 

Có lẽ từ đúng là "toán tử". Nhiều thông tin hơn cho $A$ là gì? $A$ xác định  trên đâu? 


Đời người là một hành trình...


#3
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Ma trận mà có thể định nghĩa  $Au$ sao?

 

Có lẽ từ đúng là "toán tử". Nhiều thông tin hơn cho $A$ là gì? $A$ xác định  trên đâu? 

$A$ là ma trận vuông thực nha bạn (theo mình nghĩ thì $A$ là ma trận vuông gì cũng được, cứ thỏa mãn là có các trị riêng vuông là được). $u$ là vector (lúc đầu mình định viết là $\nabla u$ cho dễ hiểu, nhưng viết như trên cũng ko sao)

Còn $(.,.)_{L_2(\Omega)}$ (một số tài liệu ký hiệu là $<.,.>_{L_2(\Omega)}$) là tích vô hướng trên không gian $L_2(\Omega)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 09-01-2017 - 17:18

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#4
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

$A$ là ma trận vuông thực nha bạn (theo mình nghĩ thì $A$ là ma trận vuông gì cũng được, cứ thỏa mãn là có các trị riêng vuông là được). $u$ là vector (lúc đầu mình định viết là $\nabla u$ cho dễ hiểu, nhưng viết như trên cũng ko sao)

Còn $(.,.)_{L_2(\Omega)}$ (một số tài liệu ký hiệu là $<.,.>_{L_2(\Omega)}$) là tích vô hướng trên không gian $L_2(\Omega)$

Vậy $u\in ?$


Đời người là một hành trình...


#5
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Cho $A$ là ma trận vuông thực có các trị riêng $\lambda_k>0$ và $\lambda_0=\min\left\{\lambda_k\right\}$.

Chứng minh rằng: $$(A u, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left| u\right|^2, \; \forall u$$

trong đó

$$\left(u, v\right)_{L_2(\Omega)}=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega}u.vdx$$

 

Xin phát biểu đề bài một cách rõ ràng.

Cho $A\in M_n(\mathbb{R})$  thỏa mọi trị riêng $\lambda_i,\, i=1, 2, ..., n$ của $A$ đều là số thực dương. Đặt $\lambda_0: = \min\{\lambda_k: k=1, 2, ..., n\}. $  Chứng minh rằng

$$(A u, u)_{(L_2(\Omega))^n}\geq\lambda_0\left\| u\right\|_{L^2(\Omega}^2, \; \forall u\in (L^2(\Omega))^n,$$ $\left(u, v\right)_{(L_2(\Omega))^{n}}=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega}u.vdx$ với $u.v$ được hiểu là tích vô vô hướng trong $\mathbb{R}^n$.

 

 

 

Phát biểu rõ ràng và mọi thứ cũng trở nên dễ dàng. Tồn tại các vector riêng $v_k$, tương ứng trị riêng $\lambda_k$, của ma trận $A$ tạo thành cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{R}^n.$ Khi đó, ta biểu diễn 

$$ u(x)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_i(x) v_i hkn.$$

Từ biểu diễn này, ta dẫn ngay đến điều cần chứng minh.


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh