Chủ đề này có 1 trả lời

[Little Boy]

Cho a,b,c là các số thực tùy ý

CMR: $(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

[HoangKhanh2002]

Cho a,b,c là các số thực tùy ý

CMR: $(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

Nhận thấy, nếu $a^2, b^2, c^2$ không là độ dài ba cạnh của tam giác thì trong 3 số $a^{2}+b^{2}-c^{2}; b^{2}+c^{2}-a^{2}; c^{2}+a^{2}-b^{2}$ sẽ có 2 số $\geqslant 0$, 1 số $\leqslant 0$ hoặc cả 3 số $\leqslant 0$ nên BĐT luôn đúng vì $VT>0>VP$

Xét trường hợp các số trên là 3 cạnh của tam giác

BĐT đã cho tương đương với:

$(a^2-(b-c)^2)(b^2-(c-a)^2)(c^2-(a-b)^2)\geqslant (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

Ta chứng minh: $(a^2-(b-c)^2)^2\geqslant (a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)$

Thật vậy, bất đẳng thức đã cho tương đương với: $(b-c)^2(b^2+c^2-a^2)$ (đúng)

Lập các biểu thức hoán vị, nhân theo vế có ngay $Q.E.D$.