Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 09-01-2017 - 03:06

Như vậy bài toán Tuần 1 tháng 1 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. $S,T$ là hai điểm cố định trên $(O)$. $PS,PT$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $EF$ cắt một đường tròn $(K)$ cố định qua $BC$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng đường tròn $(PQR)$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

 Screen Shot 2017-01-09 at 6.05.53 AM.png


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Hàm

Đã gửi 09-01-2017 - 08:02

Gọi $BS$ cắt $CT$ tại $M$ áp dụng pascal $\binom{SAT}{CPB}$ thì $M$ thuộc $EF$ . $AM$ cắt $(O)$ tại $H$ . áp dụng Passcal cho bộ $\binom{H B T}{C P A}$ suy ra $HP$, $CB$ ,$ EF$ đồng quy tại $G$ , xét trục đẳng phương của 3 đường tròn $(O),(K),(PQR)$ thì suy ra $PH$ là trục đẳng phương của $(O)$ là $(PQR)$ suy ra $H$ cố định thuộc $(PQR)$ , $MH$cắt $(PQR)$ tại $H'$ thì $MH.MH'$ bằng phương tích của $M$ đến $(K)$ nên $H'$ cũng cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 09-01-2017 - 08:38


#3 quynhlqd2016

quynhlqd2016

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 09-01-2017 - 11:22

bài này giống với cấu hình bài vmo 2017 đợt 2 ,

cách của em giống với cách anh ecchi 123, nhưng có điều này em thắc mắc,giả sử tiếp tuyến của B,C cắt nhau tại X,tiếp tuyến của S,T cắt nhau tại Y thì X,Y cố định và X,Y ,E,F thẳng hàng

HX,HY cắt (PQR) tại X',Y' cũng cố định?



#4 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 09-01-2017 - 18:46

Bài toán này là mở rộng của bài 7b VMO năm nay.
$ J≡BS∩CT,X≡AJ∩EF $
$=>(ST,AX)=(BC,AX), X,J$ cố định.
Áp dụng định lý Pascal cho $(\begin{array}{} A & S & T \\ P & C & B  \end{array})$, ta co $E,F,J$ thẳng hàng.
$D≡PX∩BC, G≡AP∩BC, \left\lbrace A,L \right\rbrace=AD∩(O)$
$P(AD,EF)=(AX,ST)=(AX,BC)=P(GD,BC)=A(GD,BC)=A(PD,EF)$
$=>D,E,F$ thẳng hàng.
$=>\overline{DP}.\overline{DX}=\overline{DB}.\overline{DC}=\overline{DQ}.\overline{DR}$
$=> (PQR)$ đi qua $X$ cố định.
$\left\lbrace X,Y \right\rbrace=(PQR)∩AJ$
$\overline{JY}=\frac{\overline{JP}.\overline{JQ}}{\overline{JX}}=\frac{\mathscr{P}_ J/(K)}{\overline{JX}}=  const$
$=>Y$ cố định (q.e.d)

HSGS in my heart  :icon12:


#5 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 09-01-2017 - 18:48

bài này giống với cấu hình bài vmo 2017 đợt 2 ,

cách của em giống với cách anh ecchi 123, nhưng có điều này em thắc mắc,giả sử tiếp tuyến của B,C cắt nhau tại X,tiếp tuyến của S,T cắt nhau tại Y thì X,Y cố định và X,Y ,E,F thẳng hàng

HX,HY cắt (PQR) tại X',Y' cũng cố định?

X,Y,E,F không thẳng hàng đâu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 09-01-2017 - 18:51

HSGS in my heart  :icon12:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh