Cho các số thực $x ; y ; z$ thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ . Chứng minh rằng $\sqrt{x+y+z} \geqslant \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}$
Chứng minh rằng $\sqrt{x+y+z} \geqslant \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}$
Bắt đầu bởi trungdung19122002, 09-01-2017 - 19:05
#2
Đã gửi 09-01-2017 - 19:54
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1423 Bài viết
Thượng úy
Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1})^2=(\sqrt{a}\sqrt{\frac{a-1}{a}}+\sqrt{b}\sqrt{\frac{b-1}{b}}+\sqrt{c}\sqrt{\frac{c-1}{c}})^2$.
$\leq (a+b+c)(\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c})=(a+b+c)[3-( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})]=a+b+c$.
Vậy ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{2}$.
- trambau và thinhnarutop thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
