Chủ đề này có 4 trả lời

[Element hero Neos]

Cho dãy $(a_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

a) $a_n<1,\forall n$

b) $a_1+a_2+...+a_n<1$

[conanthamtulungdanhkudo]

Cho dãy $(a_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

a) $a_n<1,\forall n$

b) $a_1+a_2+...+a_n<1$

Câu a)$a_{n}$$<1$(*)

giải bằng pp quy nạp

Với n=1 ta thấy (*) đúng

Giả sử (*) đúng khi n=k ta cần c/m nó cũng đúng khi n=k+1

$a_{k+1}<1$$\Leftrightarrow$$\frac{a_{k}^{2}}{a_{k}^{2}-a_{k}+1}-1< 0$$\Leftrightarrow \frac{a_{k}-1}{a_{k}^{2}-a_{k}+1}< 0$==>đúng theo giả thiết quy nạp

[An Infinitesimal]

Cho dãy $(a_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

a) $a_n<1,\forall n$

b) $a_1+a_2+...+a_n<1$

 

Vì $a_k<1\,\forall k\ge 1$ nên $a_{k+1}=\frac{a_k^2}{a_k^2+1-a_k}<a_k^2\forall k\ge 1.$

Do đó $a_k\le \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{k-1}} \le \left( \frac{1}{2}\right)^{k} \forall k\ge 2,$ và $a_1=\frac{1}{2}.$

Suy ra

$$a_1+a_2+...+a_n\le 1/2+\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k}<1.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 15-01-2017 - 15:15

[An Infinitesimal]

Vì $a_k<1\,\forall k\ge 1$ nên $a_{k+1}=\frac{a_k^2}{a_k^2+1-a_k}<a_k^2\forall k\ge 1.$
Do đó $a_k\le \left(\frac{1}{2}\right)^{2^k} \le \frac{1}{2}^{k} \forall k\ge 2,$ và $a_1=\frac{1}{2}.$
Suy ra
$$a_1+a_2+...+a_n\le \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k}<1.$$

Có lẽ đã lệch môt tí.
$a_k\le \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{k-1}} \le \left (\frac{1}{2}\right)^{k} \forall k\ge 2.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 15-01-2017 - 15:13

[An Infinitesimal]

Các bài toán liên quan dãy số trên:

 

Bài 1:

 

Cho dãy số $(a_{n})$ được xác định \[a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}, n\geq 1\]

 

a) CMR; dãy số $(a_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

b) Đặt $b_{n} = a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ vơi mỗi số nguyên dương n .Tìm phần nguyên $\left [ b_{n} \right ]$và $\lim b_{n}.$

 

 

 

http://diendantoanho...ca-n2a-n2-a-n1/

 

 

Bài 2: Khảo sát sự hội tụ của $\{a_n\}$ trong Bài 1.

 

Bài 3: Nếu thay $a_1=\frac{3}{2}$  trong Bài 1 thì ta có thể nói gì về sự hội tụ của $\{a_n\}$ .