Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^\frac{1}{n}\geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Subtract Zero

Subtract Zero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nam
  • Sở thích:Math, Geography and Literature

Đã gửi 12-01-2017 - 11:58

Cho $a,b,c>0, n\in \mathbb{N}^* > 1$

CMR $\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^\frac{1}{n}\geq 2$


Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"

 

                                                                          ---Oreki Houtarou---


#2 tenlamgi

tenlamgi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Đã gửi 12-01-2017 - 12:34

Vì bất đẳng thức thuần nhất nên chuẩn hóa: $a+b+c=1$

Bất đẳng thức trở thành:

$\sum (\frac{a}{1-a})^{1/n}\geq 2$

Xét hàm: $f(x)=(\frac{x}{1-x})^{1/n}$ ta có: $f''(x)\geq 0\forall x \in(0;1)$ và n>1

Vậy theo BDT Jensen ta có:

$\sum (\frac{a}{1-a})^{1/n}= f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f(\frac{a+b+c}{3})=3f(1/3)=3\sqrt[n]{1/2}\geq 3\sqrt{1/2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}> 2$

Vậy đẳng thức không xảy ra.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tenlamgi: 12-01-2017 - 12:37





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh