Đến nội dung


Hình ảnh

cm với mọi $n$, luôn tồn tại số nguyên $x,y$ sao cho $n\mid x^2-58y^2+1$ (đề thi hsg tỉnh gia lai)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Sonhai224

Sonhai224

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết

Đã gửi 12-01-2017 - 12:23

cm với mọi $n$, luôn tồn tại số nguyên $x,y$ sao cho $n\mid x^2-58y^2+1$ (đề thi hsg tỉnh gia lai)


Không có chữ ký


#2 Sonhai224

Sonhai224

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết

Đã gửi 13-01-2017 - 13:01

giả sử $x=kn+a$ và $y=cn+b$ thì ta có 

$x^2-58y^2+1=(kn+a)^2-58(cn+b)^2+1=k^2n^2+2kna+a^2-58c^2n^2-116knb-58b^2+1=n(k^2n+2ka-58c^2n-116kb)+a^2-58b^2+1$

vậy ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho $a^2-58b^2+1=0$ và chọn $k$ và $c$ cho phù hơp là được

pt  $a^2-58b^2+1=0$ là phương trình pell loại 2 và có nghiệm nhỏ nhất là $x=99$ và $y=13$ 

vậy ta có thể tìm hết cá nghiệm $a,b$ từ đó suy ra điều phải chứng minh


Không có chữ ký


#3 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 14-01-2017 - 22:59

giả sử $x=kn+a$ và $y=cn+b$ thì ta có 

$x^2-58y^2+1=(kn+a)^2-58(cn+b)^2+1=k^2n^2+2kna+a^2-58c^2n^2-116knb-58b^2+1=n(k^2n+2ka-58c^2n-116kb)+a^2-58b^2+1$

vậy ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho $a^2-58b^2+1=0$ và chọn $k$ và $c$ cho phù hơp là được

pt  $a^2-58b^2+1=0$ là phương trình pell loại 2 và có nghiệm nhỏ nhất là $x=99$ và $y=13$ 

vậy ta có thể tìm hết cá nghiệm $a,b$ từ đó suy ra điều phải chứng minh

Nếu ta chọn $x,\, y$ là các số nguyên sao cho $x^2-58y^2+1=0$ thì coi như xong, đâu cần biến đổi dài dòng! Vậy hóa ra bài tập này tầm thường quá! Phải thay $58$ bởi số $m$ khác, sao cho phương trình $x^2-my^2+1=0$ vô nghiệm nguyên. 



#4 Sonhai224

Sonhai224

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết

Đã gửi 14-01-2017 - 23:06

Nếu ta chọn $x,\, y$ là các số nguyên sao cho $x^2-58y^2+1=0$ thì coi như xong, đâu cần biến đổi dài dòng! Vậy hóa ra bài tập này tầm thường quá! Phải thay $58$ bởi số $m$ khác, sao cho phương trình $x^2-my^2+1=0$ vô nghiệm nguyên. 

mình đang cố gắng tìm lời giảo bài này. nhưng chưa tìm được lời giả thật sự thuyết phục cho nó.... lời giải của mình chỉ là ý tưởng nho nhỏ.... biết đâu giúp ích cho bạn khác đem ra lời giải hay hơn cho bài này..mình đang rất muốn tìm lời giải bài này.. huhu :(  :(  :(  :(  :(


Không có chữ ký


#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1434 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:The area of spectrec
  • Sở thích:Algebraic topology and Homological algebra

Đã gửi 14-01-2017 - 23:18

mình đang cố gắng tìm lời giảo bài này. nhưng chưa tìm được lời giả thật sự thuyết phục cho nó.... lời giải của mình chỉ là ý tưởng nho nhỏ.... biết đâu giúp ích cho bạn khác đem ra lời giải hay hơn cho bài này..mình đang rất muốn tìm lời giải bài này.. huhu :(  :(  :(  :(  :(

Bạn chọn đúng rồi , bài này thì tất cả các số  thỏa mãn chính là tất cả các số $d$ sao cho pt Pell loại $2$ có nghiệm ( bạn tự cm ) 


" As Grothendieck taught us , object aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre

#6 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 16-01-2017 - 01:25

$x^2 - 58y^2+1 = x^2 - 9y^2 - (49y^2-1) = (x-3y)(x+3y) - (7y-1)(7y+1)$

Đặt $n = \prod p_i^{\alpha_i}$

Khi $p_i \neq 7$ ta chọn $7y \equiv 1$ và $x \equiv 3y (\text{p_i^{\alpha_i}}$ thì sẽ có $p_i^{\alpha_i} | x^2 - 58y^2+1$

Khi $p_i = 7$

Ta sẽ chứng minh quy nạp : với mọi $k$ thì tồn tại $x,y$ để $7^k | x^2 - 58y^2+1$

Với $k=1$ ta chọn $x = 7, y = 2$

Giả sử giả thuyết quy nạp đúng với $k$ ta chứng minh đúng với $k+1$

Ta có $x_0^2 - 58y_0^2 +1 \vdots 7^k$. Đặt $x_0^2 - 58y_0^2 +1 = 7^k. T$. Ta có $x_0, y_0$ không cùng chia hết cho 7 nên tồn tại các số $a,b$ sao cho $a . 2x_0-b.10y_0 +T \vdots 7$

Khi đó, ta chọn $X = x_0+a.7^k, Y = y_0+b.7^k$ thì $X^2-58Y^2+1 \vdots 7^{k+1}$. Ta có điều cần chứng minh là đúng

Vậy với mỗi $p_i$ tồn tại $x_i, y_i$ để $x_i^2-58y_i^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$

Ta chọn $X \equiv x_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}}), Y  \equiv y_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}})$ thì ta có $X^2-58Y^2+1 \vdots n$. Vậy ta có điều cần chứng minh



#7 Sonhai224

Sonhai224

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết

Đã gửi 16-01-2017 - 06:06

$x^2 - 58y^2+1 = x^2 - 9y^2 - (49y^2-1) = (x-3y)(x+3y) - (7y-1)(7y+1)$

Đặt $n = \prod p_i^{\alpha_i}$

Khi $p_i \neq 7$ ta chọn $7y \equiv 1$ và $x \equiv 3y (\text{p_i^{\alpha_i}}$ thì sẽ có $p_i^{\alpha_i} | x^2 - 58y^2+1$

Khi $p_i = 7$

Ta sẽ chứng minh quy nạp : với mọi $k$ thì tồn tại $x,y$ để $7^k | x^2 - 58y^2+1$

Với $k=1$ ta chọn $x = 7, y = 2$

Giả sử giả thuyết quy nạp đúng với $k$ ta chứng minh đúng với $k+1$

Ta có $x_0^2 - 58y_0^2 +1 \vdots 7^k$. Đặt $x_0^2 - 58y_0^2 +1 = 7^k. T$. Ta có $x_0, y_0$ không cùng chia hết cho 7 nên tồn tại các số $a,b$ sao cho $a . 2x_0-b.10y_0 +T \vdots 7$

Khi đó, ta chọn $X = x_0+a.7^k, Y = y_0+b.7^k$ thì $X^2-58Y^2+1 \vdots 7^{k+1}$. Ta có điều cần chứng minh là đúng

Vậy với mỗi $p_i$ tồn tại $x_i, y_i$ để $x_i^2-58y_i^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$

Ta chọn $X \equiv x_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}}), Y  \equiv y_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}})$ thì ta có $X^2-58Y^2+1 \vdots n$. Vậy ta có điều cần chứng minh

mình chưa hiểu chỗ màu đỏ.. bạn giải thích thêm được không


Không có chữ ký


#8 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 16-01-2017 - 16:02

Vì khi $p_i \neq 7$ thì sẽ tồn tại $y$ để $7y -1 \vdots p_i^{\alpha_i}$ thì $(7y-1)(7y+1) \vdots p_i^{\alpha_i}$

Chọn tiếp $x \equiv 3y$ thì sẽ có $(x-3y)(x+3y) \vdots p_i^{\alpha_i}$ kết hợp 2 điều trên thì có $x^2-58y^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh