Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

cm với mọi $n$, luôn tồn tại số nguyên $x,y$ sao cho $n\mid x^2-58y^2+1$ (đề thi hsg tỉnh gia lai)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Sonhai224

Sonhai224

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết

Đã gửi 12-01-2017 - 12:23

cm với mọi $n$, luôn tồn tại số nguyên $x,y$ sao cho $n\mid x^2-58y^2+1$ (đề thi hsg tỉnh gia lai)


Không có chữ ký


#2 Sonhai224

Sonhai224

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết

Đã gửi 13-01-2017 - 13:01

giả sử $x=kn+a$ và $y=cn+b$ thì ta có 

$x^2-58y^2+1=(kn+a)^2-58(cn+b)^2+1=k^2n^2+2kna+a^2-58c^2n^2-116knb-58b^2+1=n(k^2n+2ka-58c^2n-116kb)+a^2-58b^2+1$

vậy ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho $a^2-58b^2+1=0$ và chọn $k$ và $c$ cho phù hơp là được

pt  $a^2-58b^2+1=0$ là phương trình pell loại 2 và có nghiệm nhỏ nhất là $x=99$ và $y=13$ 

vậy ta có thể tìm hết cá nghiệm $a,b$ từ đó suy ra điều phải chứng minh


Không có chữ ký


#3 IHateMath

IHateMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$\mathbb{C} 0mb\sqrt{-1}$&$\mathbb{N} T$

Đã gửi 14-01-2017 - 22:59

giả sử $x=kn+a$ và $y=cn+b$ thì ta có 

$x^2-58y^2+1=(kn+a)^2-58(cn+b)^2+1=k^2n^2+2kna+a^2-58c^2n^2-116knb-58b^2+1=n(k^2n+2ka-58c^2n-116kb)+a^2-58b^2+1$

vậy ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho $a^2-58b^2+1=0$ và chọn $k$ và $c$ cho phù hơp là được

pt  $a^2-58b^2+1=0$ là phương trình pell loại 2 và có nghiệm nhỏ nhất là $x=99$ và $y=13$ 

vậy ta có thể tìm hết cá nghiệm $a,b$ từ đó suy ra điều phải chứng minh

Nếu ta chọn $x,\, y$ là các số nguyên sao cho $x^2-58y^2+1=0$ thì coi như xong, đâu cần biến đổi dài dòng! Vậy hóa ra bài tập này tầm thường quá! Phải thay $58$ bởi số $m$ khác, sao cho phương trình $x^2-my^2+1=0$ vô nghiệm nguyên. 


$\sqrt{-1}$ <3 MATH


#4 Sonhai224

Sonhai224

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết

Đã gửi 14-01-2017 - 23:06

Nếu ta chọn $x,\, y$ là các số nguyên sao cho $x^2-58y^2+1=0$ thì coi như xong, đâu cần biến đổi dài dòng! Vậy hóa ra bài tập này tầm thường quá! Phải thay $58$ bởi số $m$ khác, sao cho phương trình $x^2-my^2+1=0$ vô nghiệm nguyên. 

mình đang cố gắng tìm lời giảo bài này. nhưng chưa tìm được lời giả thật sự thuyết phục cho nó.... lời giải của mình chỉ là ý tưởng nho nhỏ.... biết đâu giúp ích cho bạn khác đem ra lời giải hay hơn cho bài này..mình đang rất muốn tìm lời giải bài này.. huhu :(  :(  :(  :(  :(


Không có chữ ký


#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1274 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-01-2017 - 23:18

mình đang cố gắng tìm lời giảo bài này. nhưng chưa tìm được lời giả thật sự thuyết phục cho nó.... lời giải của mình chỉ là ý tưởng nho nhỏ.... biết đâu giúp ích cho bạn khác đem ra lời giải hay hơn cho bài này..mình đang rất muốn tìm lời giải bài này.. huhu :(  :(  :(  :(  :(

Bạn chọn đúng rồi , bài này thì tất cả các số  thỏa mãn chính là tất cả các số $d$ sao cho pt Pell loại $2$ có nghiệm ( bạn tự cm ) 


Ý chí con người làm chỗ dựa cho họ lúc khó khăn , vậy khi nản chí thì cái gì sẽ giúp họ đứng dậy ? - Vô danh

#6 manhtuan00

manhtuan00

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 16-01-2017 - 01:25

$x^2 - 58y^2+1 = x^2 - 9y^2 - (49y^2-1) = (x-3y)(x+3y) - (7y-1)(7y+1)$

Đặt $n = \prod p_i^{\alpha_i}$

Khi $p_i \neq 7$ ta chọn $7y \equiv 1$ và $x \equiv 3y (\text{p_i^{\alpha_i}}$ thì sẽ có $p_i^{\alpha_i} | x^2 - 58y^2+1$

Khi $p_i = 7$

Ta sẽ chứng minh quy nạp : với mọi $k$ thì tồn tại $x,y$ để $7^k | x^2 - 58y^2+1$

Với $k=1$ ta chọn $x = 7, y = 2$

Giả sử giả thuyết quy nạp đúng với $k$ ta chứng minh đúng với $k+1$

Ta có $x_0^2 - 58y_0^2 +1 \vdots 7^k$. Đặt $x_0^2 - 58y_0^2 +1 = 7^k. T$. Ta có $x_0, y_0$ không cùng chia hết cho 7 nên tồn tại các số $a,b$ sao cho $a . 2x_0-b.10y_0 +T \vdots 7$

Khi đó, ta chọn $X = x_0+a.7^k, Y = y_0+b.7^k$ thì $X^2-58Y^2+1 \vdots 7^{k+1}$. Ta có điều cần chứng minh là đúng

Vậy với mỗi $p_i$ tồn tại $x_i, y_i$ để $x_i^2-58y_i^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$

Ta chọn $X \equiv x_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}}), Y  \equiv y_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}})$ thì ta có $X^2-58Y^2+1 \vdots n$. Vậy ta có điều cần chứng minh



#7 Sonhai224

Sonhai224

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết

Đã gửi 16-01-2017 - 06:06

$x^2 - 58y^2+1 = x^2 - 9y^2 - (49y^2-1) = (x-3y)(x+3y) - (7y-1)(7y+1)$

Đặt $n = \prod p_i^{\alpha_i}$

Khi $p_i \neq 7$ ta chọn $7y \equiv 1$ và $x \equiv 3y (\text{p_i^{\alpha_i}}$ thì sẽ có $p_i^{\alpha_i} | x^2 - 58y^2+1$

Khi $p_i = 7$

Ta sẽ chứng minh quy nạp : với mọi $k$ thì tồn tại $x,y$ để $7^k | x^2 - 58y^2+1$

Với $k=1$ ta chọn $x = 7, y = 2$

Giả sử giả thuyết quy nạp đúng với $k$ ta chứng minh đúng với $k+1$

Ta có $x_0^2 - 58y_0^2 +1 \vdots 7^k$. Đặt $x_0^2 - 58y_0^2 +1 = 7^k. T$. Ta có $x_0, y_0$ không cùng chia hết cho 7 nên tồn tại các số $a,b$ sao cho $a . 2x_0-b.10y_0 +T \vdots 7$

Khi đó, ta chọn $X = x_0+a.7^k, Y = y_0+b.7^k$ thì $X^2-58Y^2+1 \vdots 7^{k+1}$. Ta có điều cần chứng minh là đúng

Vậy với mỗi $p_i$ tồn tại $x_i, y_i$ để $x_i^2-58y_i^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$

Ta chọn $X \equiv x_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}}), Y  \equiv y_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}})$ thì ta có $X^2-58Y^2+1 \vdots n$. Vậy ta có điều cần chứng minh

mình chưa hiểu chỗ màu đỏ.. bạn giải thích thêm được không


Không có chữ ký


#8 manhtuan00

manhtuan00

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 16-01-2017 - 16:02

Vì khi $p_i \neq 7$ thì sẽ tồn tại $y$ để $7y -1 \vdots p_i^{\alpha_i}$ thì $(7y-1)(7y+1) \vdots p_i^{\alpha_i}$

Chọn tiếp $x \equiv 3y$ thì sẽ có $(x-3y)(x+3y) \vdots p_i^{\alpha_i}$ kết hợp 2 điều trên thì có $x^2-58y^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh