Chủ đề này có 7 trả lời

[Sonhai224]

cm với mọi $n$, luôn tồn tại số nguyên $x,y$ sao cho $n\mid x^2-58y^2+1$ (đề thi hsg tỉnh gia lai)

[Sonhai224]

giả sử $x=kn+a$ và $y=cn+b$ thì ta có 

$x^2-58y^2+1=(kn+a)^2-58(cn+b)^2+1=k^2n^2+2kna+a^2-58c^2n^2-116knb-58b^2+1=n(k^2n+2ka-58c^2n-116kb)+a^2-58b^2+1$

vậy ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho $a^2-58b^2+1=0$ và chọn $k$ và $c$ cho phù hơp là được

pt  $a^2-58b^2+1=0$ là phương trình pell loại 2 và có nghiệm nhỏ nhất là $x=99$ và $y=13$ 

vậy ta có thể tìm hết cá nghiệm $a,b$ từ đó suy ra điều phải chứng minh

[IHateMath]

giả sử $x=kn+a$ và $y=cn+b$ thì ta có 

$x^2-58y^2+1=(kn+a)^2-58(cn+b)^2+1=k^2n^2+2kna+a^2-58c^2n^2-116knb-58b^2+1=n(k^2n+2ka-58c^2n-116kb)+a^2-58b^2+1$

vậy ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho $a^2-58b^2+1=0$ và chọn $k$ và $c$ cho phù hơp là được

pt  $a^2-58b^2+1=0$ là phương trình pell loại 2 và có nghiệm nhỏ nhất là $x=99$ và $y=13$ 

vậy ta có thể tìm hết cá nghiệm $a,b$ từ đó suy ra điều phải chứng minh

Nếu ta chọn $x,\, y$ là các số nguyên sao cho $x^2-58y^2+1=0$ thì coi như xong, đâu cần biến đổi dài dòng! Vậy hóa ra bài tập này tầm thường quá! Phải thay $58$ bởi số $m$ khác, sao cho phương trình $x^2-my^2+1=0$ vô nghiệm nguyên. 

[Sonhai224]

Nếu ta chọn $x,\, y$ là các số nguyên sao cho $x^2-58y^2+1=0$ thì coi như xong, đâu cần biến đổi dài dòng! Vậy hóa ra bài tập này tầm thường quá! Phải thay $58$ bởi số $m$ khác, sao cho phương trình $x^2-my^2+1=0$ vô nghiệm nguyên. 

mình đang cố gắng tìm lời giảo bài này. nhưng chưa tìm được lời giả thật sự thuyết phục cho nó.... lời giải của mình chỉ là ý tưởng nho nhỏ.... biết đâu giúp ích cho bạn khác đem ra lời giải hay hơn cho bài này..mình đang rất muốn tìm lời giải bài này.. huhu        

[bangbang1412]

mình đang cố gắng tìm lời giảo bài này. nhưng chưa tìm được lời giả thật sự thuyết phục cho nó.... lời giải của mình chỉ là ý tưởng nho nhỏ.... biết đâu giúp ích cho bạn khác đem ra lời giải hay hơn cho bài này..mình đang rất muốn tìm lời giải bài này.. huhu        

Bạn chọn đúng rồi , bài này thì tất cả các số  thỏa mãn chính là tất cả các số $d$ sao cho pt Pell loại $2$ có nghiệm ( bạn tự cm ) 

[manhtuan00]

$x^2 - 58y^2+1 = x^2 - 9y^2 - (49y^2-1) = (x-3y)(x+3y) - (7y-1)(7y+1)$

Đặt $n = \prod p_i^{\alpha_i}$

Khi $p_i \neq 7$ ta chọn $7y \equiv 1$ và $x \equiv 3y (\text{p_i^{\alpha_i}}$ thì sẽ có $p_i^{\alpha_i} | x^2 - 58y^2+1$

Khi $p_i = 7$

Ta sẽ chứng minh quy nạp : với mọi $k$ thì tồn tại $x,y$ để $7^k | x^2 - 58y^2+1$

Với $k=1$ ta chọn $x = 7, y = 2$

Giả sử giả thuyết quy nạp đúng với $k$ ta chứng minh đúng với $k+1$

Ta có $x_0^2 - 58y_0^2 +1 \vdots 7^k$. Đặt $x_0^2 - 58y_0^2 +1 = 7^k. T$. Ta có $x_0, y_0$ không cùng chia hết cho 7 nên tồn tại các số $a,b$ sao cho $a . 2x_0-b.10y_0 +T \vdots 7$

Khi đó, ta chọn $X = x_0+a.7^k, Y = y_0+b.7^k$ thì $X^2-58Y^2+1 \vdots 7^{k+1}$. Ta có điều cần chứng minh là đúng

Vậy với mỗi $p_i$ tồn tại $x_i, y_i$ để $x_i^2-58y_i^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$

Ta chọn $X \equiv x_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}}), Y  \equiv y_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}})$ thì ta có $X^2-58Y^2+1 \vdots n$. Vậy ta có điều cần chứng minh

[Sonhai224]

$x^2 - 58y^2+1 = x^2 - 9y^2 - (49y^2-1) = (x-3y)(x+3y) - (7y-1)(7y+1)$

Đặt $n = \prod p_i^{\alpha_i}$

Khi $p_i \neq 7$ ta chọn $7y \equiv 1$ và $x \equiv 3y (\text{p_i^{\alpha_i}}$ thì sẽ có $p_i^{\alpha_i} | x^2 - 58y^2+1$

Khi $p_i = 7$

Ta sẽ chứng minh quy nạp : với mọi $k$ thì tồn tại $x,y$ để $7^k | x^2 - 58y^2+1$

Với $k=1$ ta chọn $x = 7, y = 2$

Giả sử giả thuyết quy nạp đúng với $k$ ta chứng minh đúng với $k+1$

Ta có $x_0^2 - 58y_0^2 +1 \vdots 7^k$. Đặt $x_0^2 - 58y_0^2 +1 = 7^k. T$. Ta có $x_0, y_0$ không cùng chia hết cho 7 nên tồn tại các số $a,b$ sao cho $a . 2x_0-b.10y_0 +T \vdots 7$

Khi đó, ta chọn $X = x_0+a.7^k, Y = y_0+b.7^k$ thì $X^2-58Y^2+1 \vdots 7^{k+1}$. Ta có điều cần chứng minh là đúng

Vậy với mỗi $p_i$ tồn tại $x_i, y_i$ để $x_i^2-58y_i^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$

Ta chọn $X \equiv x_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}}), Y  \equiv y_i (\text{mod p_i^{\alpha_i}})$ thì ta có $X^2-58Y^2+1 \vdots n$. Vậy ta có điều cần chứng minh

mình chưa hiểu chỗ màu đỏ.. bạn giải thích thêm được không

[manhtuan00]

Vì khi $p_i \neq 7$ thì sẽ tồn tại $y$ để $7y -1 \vdots p_i^{\alpha_i}$ thì $(7y-1)(7y+1) \vdots p_i^{\alpha_i}$

Chọn tiếp $x \equiv 3y$ thì sẽ có $(x-3y)(x+3y) \vdots p_i^{\alpha_i}$ kết hợp 2 điều trên thì có $x^2-58y^2+1 \vdots p_i^{\alpha_i}$