Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{a+b^2+c^2}\leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
phuocchubeo

phuocchubeo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{a+b^2+c^2}+\frac{b}{b+c^2+a^2}+\frac{c}{c+b^2+a^2}\leq 1$


Tập tõm bước đi trên con đường toán học. :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2
quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Do abc=1 nên ta có thể đổi biến $\left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \frac{z^{2}}{xy} ,\frac{y^{2}}{xz},\frac{x^{2}}{yz}\right )$

Khi đó Bất đẳng thức cần cm sẽ tương đương với

P=$\sum \frac{z^{4}xy}{y^{6}+z^{6}+z^{4}xy}\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị, ta có:$y^{6}+z^{6}\geq xy\left ( x^{4} +y^{4}\right )$

Suy ra

$P\leq \sum \frac{z^{4}xy}{xy\left ( \sum z^{4} \right )}$=1 (đpcm)


quangtohe1234567890





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh