Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Giới thiệu về chai Klein

klein bottle

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1527 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 12-01-2017 - 21:49

Hehe hôm nay mình sẽ giới thiệu cho các bạn về chai Klein , khá thú vị trong topo . Nào , trước tiên bạn thích " uống " , khi đó chai Klein không phải là một cái cốc tốt . Nó nhìn rất giống chai nhưng nó lại có thể tích không , có thể hiểu là nó không chứa được chất lỏng . Khi bạn đổ chất lỏng vào thì nó lại tràn ngược ra đầu mà bạn vừa đổ vào . Khá là củ chuối , nếu bạn không tin có thể google search " Filling Klein Bottle và xem video nhé .

Vậy thì làm thế nào để xây dựng và tìm ra nó ( chai Klein ) ? Nhà toán học Felix Klein đã tìm ra nó năm $1882$ và miêu tả nó như là một mảnh của ống cao su rồi để một phần bên ngoài đi vào bên trong .

 

Rõ ràng , giống như các mặt cầu , chai Klein là đóng . Bạn có nghĩ rằng nó là một vùng hữu hạn của không gian , một con kiến có thể đi bộ xung quanh nó mà không bao giờ đập vào đâu hoặc rơi trên một cạnh . Không giống như các mặt cầu có mặt trong và mặt ngoài , chai Klein chỉ có một chiều : khi đi bộ thì con kiến có thể chạm cả hai phần tại cùng một điểm . Đó là lý do tại sao nó không có thể tích và nó cũng rất thú ví vì trong tự nhiên khá khó tìm được một vật một chiều như vậy .

Nếu bạn thấy bối rối , hãy cùng thử nghĩ đơn giản hơn về một mặt một chiều khá nổi tiếng : Dải Mobius . Bạn có thể tạo ra nó bằng cách xoắn cong và dán hai đầu của một dải giấy hình chữ nhật lại . Bạn có thể sử dụng một dải giấy mà nó có hai phần màu khác nhau : cam và xanh , dễ thấy rằng dải Mobius là một mặt . Thật vậy xuất phát từ điểm ở phần màu xanh bạn có thể đi đến tất cả các điểm thuộc phần màu cam mà không cần phải đi xuyên qua tờ giấy hay đi vòng qua mép của nó .

WithNormals.jpg

 

 Nhưng không giống như chai Klein , dải Mobius là có cạnh , được tạo từ dải gốc . Nếu bạn có hai dải Mobius thì bạn có thể tạo ra bình Klein bằng cách làm " đầy nó " ( mình dịch đoạn này không chuẩn  nhưng xem video sau đây các bạn sẽ hiểu )

Chính sự phát hiện này đã khiến nhà toán học Leo Moser soạn một bài thơ năm câu , nhưng mình để tiếng Anh nhé hehe :

A mathematician named Klein 

Thought the Mobius band was divine 

Said he : " If you glue 

The edges of two ,

You'll get a weird bottle like mine . " 

Một số nhà toán học thực sự là đại tài !! 

Một đặc điểm kì lạ của chai Klein là nó tự cắt chính nó , như vậy nó rất khó để tạo thành từ duy nhất một ống cao su như Klein đề xuất. Nói đúng ra , các đối tượng được miêu tả ở trên không phải là chai Klein ( nhưng theo Klein chỉ định thì ta chỉ nên xem xét một đối tượng ) . Để hiểu tại sao , ta cùng nghĩ đến những chiếc bánh rán quen thuộc ( trong toán học gọi là hình xuyến ) . Bạn có thể tạo ra hình xuyến bằng cách cuộn tròn theo chiều ngang của một hình vuông để tạo ra hình trụ rỗng , rồi sau đó dán hai đầu của hình trụ lại . 

torus_square2.jpg

 
Còn nếu bạn không muốn mang đồ đạc ra dán lại , thì bạn hãy tưởng tượng về hình vuông . Nếu bạn trượt một hình vẽ theo chiều hướng lên và đi qua cạnh trên thì nó sẽ xuất hiện trở lại ở cạnh dưới
torus_slide.jpg
 
Để có một chai Klein , chúng ta làm tương đối giống như vậy . Bạn hãy tưởng tượng một hình vuông ,  xác định các điểm đối diện trên một cặp cạnh đối diện của một hình vuông . Đối với hai các cặp khác của hai bên không xác định được điểm đối diện trực tiếp , các điểm trong đường chéo đối diện , như trong hình sau ( bạn hãy cố tưởng tượng nhé )
 
bottle_glue.jpg
 
 
Nó sẽ tạo ra bình Klein , nhưng lần này nếu bạn trượt một hình ảnh thì nó sẽ xuất hiện ở bên đối diện và tạo ra một hình ảnh như là phản chiếu của hình ảnh ban đầu : 
 
bottle_slide.jpg
 

Về mặt toán học thì chai Klein có thể mô tả là không gian thương $[0,1] \times [0,1] /  ~$ trong đó $(0,y) \sim (1,y) , (x,0) \sim (1-x,1)$

Thật kì lạ , những khái niệm " bên trong " , " bên ngoài " , " one-sidedness " lại phụ thuộc vào không gian mà vật nằm trong . Ví dụ , một bó được vẽ trong không gian hai chiều thì có thể  xác định mặt trong và mặt ngoài , nhưng trong không gian ba chiều thì không . 

 
Đây là lý do vì sao ta không thể nói về một sidedness trừ khi chúng ta xác định làm thế nào để nhúng nó trong không gian ba chiều . Tuy nhiên nội tại của vật thể thì không liên quan tới số chiều không gian xung quanh nó . Một mặt được gọi là orientable nếu bạn không thể trượt một hình ảnh xung quang mặt đó mà cho kết quả là hình ảnh giống như hình ảnh ban đầu , có thể nó đã bị xoay ngược hoặc như nào đó . Vậy thì dải Mobius không phải là orientable  , và chai Klein cũng vậy . 

Nguồn : plus.maths.org


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-01-2017 - 21:52

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh