Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\angle QKP=\angle QXA$.

- - - - - góc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cho $(O_{1})\cap (O_{2})=P,K$. $XY$ tiếp tuyến chung của 2 đường tròn sao cho $P$ gần $XY$ hơn $K$. $XP\cap (O_{2})=P,C$ $YP\cap (O_{1})=P,B$, gọi $BX\cap CY=A$. Gọi $(ABC)\cap (AXY)=A,Q$. Chứng minh rằng: $\angle QKP=\angle QXA$.


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Sau một hồi suy nghĩ .Mình có lời giải sau :v 

 Dựng điểm $E$ sao cho tam giác $BEC$ đồng dạng tam giác $XKY$ và $E$ nằm khác phía với $X$ đối với $BC$

- đầu tiên ta chứng minh $P,K,E$ thẳng hàng .  ta có$\widehat{EBC}=\widehat{KXY}= \widehat{XBK}$ và$\widehat{ECB}=\widehat{XYK}=\widehat{YCK}$ từ đó suy ra , $A,E$ liên hợp đẳng giác trong tam giác $KBC$ , suy ra $KE,KA$ đẳng giác góc $BKC$ , mà theo kết quả quen thuộc , $KA,KP$ cũng đẳng giác góc $K$ , suy ra $K,P,E$ thẳng hàng

- phép vị tự xoay tâm $Q$ góc $(QX,QB)$ tỉ số $\frac{QB}{QX}$ , biến $K$ thành $E$ , suy ra $ \widehat{QKP}=\widehat{QXA} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 13-01-2017 - 18:07

~O)  ~O)  ~O)


#3
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Sau một hồi suy nghĩ .Mình có lời giải sau :v 

 Dựng điểm $E$ sao cho tam giác $BEC$ đồng dạng tam giác $XKY$ và $E$ nằm khác phía với $X$ đối với $BC$

- đầu tiên ta chứng minh $P,K,E$ thẳng hàng .  ta có$\widehat{EBC}=\widehat{KXY}= \widehat{XBK}$ và$\widehat{ECB}=\widehat{XYK}=\widehat{YCK}$ từ đó suy ra , $A,E$ liên hợp đẳng giác trong tam giác $KBC$ , suy ra $KE,KA$ đẳng giác góc $BKC$ , mà theo kết quả quen thuộc , $KA,KP$ cũng đẳng giác góc $K$ , suy ra $K,P,E$ thẳng hàng

- phép vị tự xoay tâm $Q$ góc $(QX,QB)$ tỉ số $\frac{QB}{QX}$ , biến $K$ thành $E$ , suy ra $ \widehat{QKP}=\widehat{QXA} $

Nice sol 


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#4
NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

đề Iran TST 2010 Pro 5 https://www.artofpro...h352078p1899886



#5
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

My solution:))

Lời giải: Gọi $M$ giao của $KP$ $XY$(dễ thấy $M$ trung điểm $XY$). Ta : $\angle AXY=180^\circ-\angle YXP-\angle PXB=\angle XPB=\angle YPC=\angle AXY$ nên $AX=AY$. Để ý rằng: $\angle AXY=\angle XPB=180^\circ-\angle XPY=180^\circ-(180^\circ-\angle MXP-\angle MYP)= \angle XKY$ vậy $AX$ tiếp xúc $(XYK)$ do đó $KA$ đường đối trung của tam giác $KXY$. Gọi $D$ đối xứng $P$ qua $XY$, $XY\cap AQ=I$. Áp dụng bài Việt Nam TST 2001 thì: $D\in (KXY)$ $D\in AK$, do đó $AX^2=\overline{AD}.\overline{AK}$. Lại : $\angle IQX=\angle AYX=\angle AXY$ do đó $\angle AQX=\angle AXI$ do đó $\bigtriangleup AQX\sim \bigtriangleup AXI(g.g)$ nên $AX^2=AY^2=\overline{AQ}.\overline{AI}=\overline{AD}.\overline{AK}$ nên $I,Q,D,K$ đồng viên. Gọi $O$ tâm của $(KXY)$, ta thấy theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì: $\overline{AM}.\overline{AO}=AX^2=\overline{AD}.\overline{AK}$ do đó $M,O,D,K$ đồng viên nên $I,K,D,Q,O,M$ đồng viên do đó $\angle QKM=\angle QIX=\angle QXA$.

Hình gửi kèm

  • hih148.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 19-01-2017 - 22:42

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: góc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh