Chủ đề này có 2 trả lời

[thuydunga9tx]

Cho dãy số gồm 2015 chữ số: $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{2014};\frac{1}{2015}$

Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số $u,v$ bất kì trong dãy và viết thêm vào dãy số có giá trị bằng $u+v+uv$ vào vị trí của $u$ hoặc $v$. Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số $u,v$ để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.

[dungxibo123]

giải theo thầy Trần Nam Dũng:
trên bảng có bộ $(a_{1};a_{2};...;a_{n})$ ta gọi trọng lượng của bộ số là $M=(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)$

mối phép biến đổi trên bảng cho ta 2 số mới trong $M$ là $a_{i}+a_{j}+a_{i}a_{j}+1 = (a_{i}+1)(a_{j}+1)$ vậy nên trọng lượng bộ số không đổi
mà trọng lượng bộ số ban đầu là $2014$ nên cuối cùng số còn lại trên bảng là $2013$

[NTMFlashNo1]

Cho dãy số gồm 2015 chữ số: $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{2014};\frac{1}{2015}$

Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số $u,v$ bất kì trong dãy và viết thêm vào dãy số có giá trị bằng $u+v+uv$ vào vị trí của $u$ hoặc $v$. Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số $u,v$ để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.

Xét : $u+v+uv+1=(u+1)(v+1)$

Từ đó ta thấy khi thêm $1$ vào số mới $u+v+uv$ ta đc tích của hai số cũ thêm $1$ nhân với nhau

Đó là đại lượng bất biến

Khi đó số cuối cùng $k$ sẽ là:

$k+1=\left ( \frac{1}{1}+1 \right )\left ( \frac{1}{2}+1 \right )...\left ( \frac{1}{2015}+1 \right )=2016$

Do đó $k=2015$