Đại học quốc gia TPHCM Đề thi chọn đội dự tuyển môn toán lớp 10
Trường Phổ Thông Năng Khiếu Năm học 2016-2017
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{x^4}{x^3+y^2+z^2}+\frac{y^4}{y^3+x^2+z^2}+\frac{z^4}{z^3+y^2+x^2}\geq \frac{1}{7}$
Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
$i)$ $f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^*$
$ii)$ $f(m)+f(n)$ chia hết cho $m+n$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^*$
$iii)$ $f(2017)=2017^3$
Bài 3: Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ cố định. $C$ là một điểm thay đổi trên cung lớn $AB$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $I,I_a,I_b$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp góc $A$, đường tròn bàng tiếp góc $B$ của tam giác $ABC$.
a) Gọi điểm đối xứng của $i$ qua $O$ là $M$. Chứng minh tam giác $MI_aI_b$ cân.
b) Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $I_b,I_a$ trên $OI$. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BI_a$ và đường thẳng qua $K$ vuông góc với $AI_b$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng $P$ thuộc một đường cố định.
Bài 4: Cho $S$ là tập hợp khác rỗng và $A_1,A_2,...,A_m$ $(m\geq 2)$ là $m$ tập con của $S$. Gọi $T$ là tập gồm tất cả các tập $A_i\Delta A_j$ với $1\leq i,j \leq m$. Chứng minh rằng $\left | T \right |\geq m$.
( Với ký hiệu $A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ và $|T|$ là số phần tử của $T$).
-----------------------------------------------------------HẾT----------------------------------------------------------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 14-01-2017 - 19:37