Đến nội dung


Hình ảnh

Topic ôn thi hình học vào cấp 3 chuyên

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 228 trả lời

#1 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 15-01-2017 - 12:22

Topic này là nơi dành để post các bài toán ôn tập mục đích thi vào cấp 3 chuyên toán. Một số lưu ý khi post bài như sau

 

- Nội dung các bài toán ở mức THCS. Ưu tiên các bài toán tứ giác nội tiếp vì chương trình thi chuyên cấp 3 hầu như chỉ xoay quanh tứ giác nội tiếp các điều kiện cần vả đủ.

 

- Không post bài trong các cuộc thi THCS còn hạn (như trên THTT, TTT2, PI...)

 

- Hạn chế hỏi bài tập về nhà.

 

- Post đề có nguồn gốc cụ thể.

 

Mình xin phép bắt đầu với một số đề hình học thi thử chuyên KHTN.

 

Bài toán 1 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 1, đợt 3). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $B, C$ cố định, $A$ di chuyển trên $(O)$. $D$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $AD$ là phân giác $\angle BAC$. Đường tròn $(K)$ qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $D$.

 

1) Chứng minh rằng $(K)$ tiếp xúc $(O)$.

 

2) Gọi $(K)$ giao $CA, AB$ lần lượt tại $E, F$ khác $A$. $BE, CF$ lần lượt cắt $(K)$ tại $G, H$ khác $E, F$. $AG, AH$ cắt $BC$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh rằng độ dài $MN$ luôn không đổi khi $A$ di chuyển.

 

 

Bài toán 2 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 2, đợt 3). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$. Trung trực $CA, AB$ lần lượt cắt $PA$ tại $E, F$. Đường thẳng qua $E$ song song $AC$ cắt tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ tại $M$. Đường thẳng qua $F$ song song $AB$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ tại $N$.

 

1) Chứng minh rằng $MN$ tiếp xúc $(O)$.

 

2) Gọi $MN$ cắt dường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACM, ABN$ lần lượt tại $Q,R$ khác $M, N$. Chứng minh rằng $BQ$ và $CR$ cắt nhau trên $(O)$.

 

 

Bài toán 3 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 1, đợt 4). Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $K, L$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $DE, DF$. Gọi $IA$ giao $EF$ tại $M$.

 

1) Chứng minh rằng $M$ là trực tâm tam giác $DKL$.

 

2) Gọi $P$ đối xứng $E$ qua $K$. $Q$ đối xứng $F$ qua $L$. Chứng minh rằng $QE, PF$ cắt nhau trên đường tròn $(I)$.

 

 

Bài toán 4 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 2, đợt 4). Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $(K)$ đi qua $B, C$ sao cho $(K)$ cắt đoạn $CA$ tại $E$ khác $C$ và $(K)$ cắt đoạn $AB$ tại $F$ khác $B$. $BE$ giao $CF$ tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $EF$. Gọi $P, Q$ lần lượt là đối xứng của $A$ qua $BE, CF$.

 

1) Chứng minh rằng đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $HEP$ và đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $HFQ$ cắt nhau trên $AM$.

 

2) Chứng minh rằng $(I)$ và $(J)$ có bán kinh bằng nhau.



#2 Jinbei

Jinbei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-01-2017 - 15:12

Li gii bài 3 : 

 

 

1) . Gọi $G, H$ lần lượt là giao điểm $LM, KM$ với $DK, LD$ . $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ $\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại $A$ $\Rightarrow AM$ vuông góc $EF$.

 

. Có : $\widehat{MFG}=\widehat{DEC}=\widehat{AEK}$ (cùng chắn cung $DE$). $\widehat{AME}=\widehat{AKE}=90^{O}\Rightarrow AKEM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KME}=\widehat{EAK}$, do đó $\widehat{MFG}+\widehat{FMG}=\widehat{AEK}+\widehat{EAG}=90^{O}\Rightarrow \widehat{FGM}=90^{O}\Rightarrow KG$ vuông góc $LD$.

 

. Tương tự : $LH$ vuông góc $DK$. Suy ra $M$ là trưc tâm $\Delta DLK$.

 

 

2) . Gọi $T;T'$ lần lượt là giao điểm của $FP;QE$ với $(I)$

 

. Dễ thấy $\Delta AQF$ cân tại $A$, $\Delta BFD$ cân tại $B$ $\Rightarrow \frac{180^{O} - \widehat{QAF}}{2}=\widehat{QFA}=\widehat{BFD}=\frac{180^{O} - \widehat{FBD}}{2}\Rightarrow \widehat{QAF}=\widehat{FBD}$, so le trong $\Rightarrow AQ$ song song $BC$. Tương tự $AP$ song song $BC$ $\Rightarrow Q, A, P$ thẳng hàng (theo tiên đề $Euclid$).

 

. Theo câu 1) thì $\widehat{EFD}=\widehat{AEP}$, mà $\widehat{AEP}=\widehat{APE}$ ($\Delta APE$ cân tại $A$) nên $\widehat{EFD}=\widehat{QPE}\Rightarrow QPEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PFE}=\widehat{PQE}$ $(1)$.   

 

$AQ=AE(=AF)\Rightarrow \Delta AQE$ cân tại $A$ $\Rightarrow \widehat{AQE} = \widehat{AEQ}$ $(2)$.

 

. Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{PFE}=\widehat{AEQ}\Rightarrow \widehat{TFE}=\widehat{AET'}\Rightarrow T$ trùng $T'$. Suy ra đpcm.

Hình gửi kèm

  • 1.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbei: 15-01-2017 - 16:23


#3 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 15-01-2017 - 16:27

Đáp án bài toán 3. 1) Dễ thấy $IA$ vuông góc $EF$ tại $M$. Ta có các tứ giác $AMFL, AMEK$ nội tiếp. Chú ý $AB, AC$ tiếp xúc $(I)$ nên có các góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nhau $\angle AML =\angle AFL =\angle BFD =\angle DEF =\angle MAK$. Do đó $ML$ song song $AK$ và vuông góc $DE$. Tương tự $MK$ vuông góc $DF$ nên $M$ là trực tâm của tam giác $DKL$.

 

2) Dễ thấy $MK$ là đường trung bình của tam giác $EPF$ nên $FP$ song song $MK$ và vuông góc $DL \equiv FD$. Vậy nếu gọi $DT$ là đường kính của $I$, dễ thấy $FT$ vuông góc $FD$ nên $FP$ đi qua $T$. Tương tự $EQ$ cũng đi qua $T$. Ta có điều phải chứng minh.



#4 Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ninh

Đã gửi 17-01-2017 - 15:43

Lời giải bài 1:

1) $AD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $T$. Ta có $TB=TC$ suy ra $OT \perp BC$. Mặt Khác $(K)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$ nên $KD \perp BC$ do đó $KD \parallel OT$.

Suy ra $\widehat{KAT}=\widehat{KAD}=\widehat{KDA}=\widehat{OTA}=\widehat{OAT}$ nên $A, K, O$ thẳng hàng hay $(K, KA)$ tiếp xúc $(O, OA)$.

2) Ta có $\triangle BDF \sim \triangle BAD$, $\triangle CDE \sim \triangle CAD$ do đó $BD^2=BF.BA$, $CD^2=CE.CA$, suy ra $\frac{BF}{CE} = \frac{BD^2}{CD^2}.\frac{CA}{BA}=\frac{AB^2}{AC^2}.\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AC}$ nên $EF \parallel BC$ theo định lí Thales. Do đó $\widehat{MBE}=\widehat{BEF}=\widehat{MAB}$ hay $\triangle MBG \sim \triangle MAB$, suy ra $MB^2=MG.MA=MD^2$ hay $M$ là trung điểm $BD$. Tương tự, $N$ là trung điểm $CD$ nên $MN= \frac{BC}{2}$. Ta có đpcm.



#5 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết

Đã gửi 17-01-2017 - 22:19

Bài toán 2 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 2, đợt 3). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$. Trung trực $CA, AB$ lần lượt cắt $PA$ tại $E, F$. Đường thẳng qua $E$ song song $AC$ cắt tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ tại $M$. Đường thẳng qua $F$ song song $AB$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ tại $N$.

 

1) Chứng minh rằng $MN$ tiếp xúc $(O)$.

 

2) Gọi $MN$ cắt dường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACM, ABN$ lần lượt tại $Q,R$ khác $M, N$. Chứng minh rằng $BQ$ và $CR$ cắt nhau trên $(O)$.

 

 

 

2017_01_17_220647.jpg

Bài toán 2:

 

Câu 1. AP cắt (O) tại điểm thứ 2 là D.

 

Do NF // AB nên NF vuông góc với OF tại D. Vậy BFON là tứ giác nội tiếp.

 

Do NF // AB nên góc $\angle NFB = \angle FBA =\angle FAB = \angle NFD$. Vậy góc $\angle DFB = 2.\angle DAB = \angle DOB$. Hay tứ giác BFOD là tứ giác nội tiếp.

 

Vậy B, E, O, D, N cùng nằm trên một đường tròn, do đó góc $\angle ODN = 90^0$ hay ND là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm D.

 

Tương tự có MD là tiếp tuyến (O) tại tiếp điểm D. Do đó M, N, D thẳng hàng hay MN tiếp xúc với (O) tại D.

 

Câu 2. Góc $\angle ARQ = \angle ARN = 180^0 - \angle ABN = \angle ACB$.

 

Tương tự có góc $\angle AQR = \angle ABC$.

 

Vậy tam giác AQR và tam giác ABC đồng dạng. Từ đó có tam giác AQB và ARC đồng dạng.

 

Do đó $\angle ABQ = \angle ACR$. Nếu gọi K là giao điểm của QB và RC thì tứ giác ABKC là tứ giác nội tiếp. Vậy K nằm trên (O).



#6 Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ninh

Đã gửi 17-01-2017 - 23:07

Lời giải bài 4:
1) Gọi $S$ là đối xứng của $A$ qua $M$. Ta sẽ chứng minh $S$ thuộc $(HEP)$ và $(HFQ)$. Thật vậy, kẻ hình bình hành $HSET$  ta có $AFHT$ là hình bình hành. Do đó $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{ATH}$ nên tứ giác $ATEH$ nội tiếp, suy ra $\widehat{HPE}=\widehat{HAE}=\widehat{HTE}=\widehat{HSE}$ hay $S \in (HPE)$. Tương tự ta có $S \in (HFQ)$.
2) Gọi $X, Y$ là tâm $(HPE), (HQF)$. Khi đó ta có $\widehat{HYS}=2\widehat{HES}=2\widehat{EHT}=2\widehat{EAT}=2\widehat{SFH}=\widehat{SXH}$. Do đó $\triangle HXS =\triangle HYS$ nên ta có đpcm.  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 17-01-2017 - 23:26
$LaTeX$


#7 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 18-01-2017 - 17:47

Em xin đề xuất $2$ bài mới:

Bài toán 5 (Thi vòng 1 chuyên KHTN 2015-2016): Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có tâm đường tròn nội tiếp $I.$ $AI$ cắt $BC$ tại $D.$ Lấy $E,F$ lần lượt đối xứng $D$ qua $IB$ và $IC.$ $M,N,J$ lần lượt là trung điểm của $DE,DF,EF.$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$ tại $P$ khác $A.$ Chứng minh rằng $A,J,P$ thẳng hàng.

 

Bài toán 6 (Đề vòng 1 KHTN 2016-2017): Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có A$AD$ là phân giác trong của tam giác. $AD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $E.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AD.$ $BM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $P$ khác $B.$ $EP$ cắt $AC$ tại điểm thứ hai $N.$

 a) Chứng minh $N$ là trung điểm của $AC.$

 b) Gọi $(EMN)$ cắt $BM$ tại $R$ khác $M.$ Chứng minh rằng $RA \perp RC.$


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#8 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 18-01-2017 - 21:48

Cám ơn em, các em cứ đề xuất các đề thi cấp 3 hoặc hsg thành phố và tỉnh thoải mái vào topic, miễn là theo tiêu chí đẹp và có giá trị ôn thi chuyên và phù hợp chương trình THCS. Mình hơi nhiều việc nên không update thường xuyên nhưng mình vẫn cố hết sức giữ lửa cho topic. Xin đề nghị các bài toán tiếp.

 

Bài toán 7 (Chuyên Vĩnh Phúc 2016 vòng 2). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $AM$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ khác $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $F$ khác $B$.

 

1) Chứng minh rằng hai tam giác $BDF,CDE$ đồng dạng và ba điểm $E,M,F$ thẳng hàng.
 
2) Chứng minh rằng $OA \perp EF$.
 
3) Phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt $EF$ tại điểm $N$. Phân giác của các góc $\widehat{CEN}$ và $\widehat{BFN}$ lần lượt cắt $CN,BN$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$.
 
Bài toán 8 (Chuyên Hà Nội 2016 vòng 2). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. Phân giác góc $\angle CGE,\angle BGF$ cắt $CA,AB$ tại $M,N$. $(K)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. 
 
1) Gọi $AK$ cắt $GH$ tại $P$. Chứng minh rằng $G$ và $P$ đều nằm trên $(K)$.
 
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $M,N$ của $(K)$ cắt nhau trên $(O)$.
 
Bài toán 9 (Mở rộng đề THPT chuyên KHTN 2016 vòng 1). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $E,F$ thuộc $(O)$ sao cho $EF\parallel BC$. $AE,AF$ cắt $BC$ tại $M,N$. $P,Q,R$ là trung điểm của $AM,AN,AC$. $BP,BQ$ cắt đường tròn $(EPR),(FQR)$ tại $S,T$ khác $P,Q$. Chứng minh rằng $\angle ASC+\angle ATC=180^\circ$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 19-01-2017 - 22:23
Sửa bài toán 9


#9 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 19-01-2017 - 05:56

Lời giải bài 7:

 

oc2.JPG

1) Ta có: $\angle FBD=\angle ECD$ và $\angle BFD=\angle DMC=\angle DEC$ suy ra $\Delta BDF\sim \Delta CDE$

 

  Từ đó dễ dàng suy ra $\Delta DEF\sim \Delta DCB\Rightarrow \angle DFE=\angle DBC=\angle DFM\Rightarrow \overline{E,M,F}$

 

2) Kẻ tiếp tuyến $At$ của $(O)$ suy ra $\Rightarrow \angle tAB=\angle ADB=\angle AFE\Rightarrow AT//EF\Rightarrow EF \perp AO.$

3) 

$\frac{AC}{BD}=\frac{MC}{MD};\frac{AB}{DC}=\frac{MB}{MD}\Rightarrow \frac{AC}{BD}=\frac{AB}{DC}(MB=MC)\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{DB}{DC}(1)$

 Mặt khác ta lại có: $AE.AC=AB.AF(=AM.AD)\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}(2)$

 Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\frac{AF}{AE}=\frac{DB}{EC}\Rightarrow \frac{NF}{NE}=\frac{BF}{EC}\Rightarrow \frac{NF}{BF}=\frac{NE}{EC}\Rightarrow \frac{QN}{QB}=\frac{PN}{PC}$

 Theo định lí $Thales$ đảo suy ra $PQ//BC(\text{đpcm})$

 

Lời giải bài 8:

OC3.JPG

1) Ta có: $\angle GFA=\angle GEA \Rightarrow \angle GFB=\angle GEC.$ Mặt khác, $\angle GBF=\angle GCE$ suy ra $\Delta GBF\sim \Delta GCE\Rightarrow \Delta GNF\sim \Delta GME\Rightarrow \angle GNF=\angle GME\Rightarrow G\in (AMN)$

 Gọi $P'=AK\cap (K)\Rightarrow GP' \perp AG.$ Mà tứ giác $GHEA$ nội tiếp, $\angle AEH=90^{\circ}\Rightarrow GH \perp AG.$ Do đó $P'\in GH\Rightarrow P'\equiv P\Rightarrow \text{đpcm}$

 

Bài toán 9:Bài toán 6 em đề xuất ở trên rồi thầy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 19-01-2017 - 06:02

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#10 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 19-01-2017 - 22:20

Cám ơn em, để thầy sửa lại bài toán 9 cho không trùng lặp. Xin đưa ra lời giải của mình cho bài toán 7.

 

Figure3829a.png

 

Lời giải bài toán 7. 1) Ta có $\angle DEC=\angle DMC=\angle DFB$ và $\angle ECD=\angle FBD$ nên hai tam giác $DBF$ và $DCE$ đồng dạng g.g. Từ đó $\angle EMC=\angle EDC=\angle FDB=\angle FMB$ nên $E,M,F$ thẳng hàng. 

 
2) Lại có $AE.AC=AM.AD=AB.AF$ nên tứ giác $BECF$ nội tiếp. Từ đó $AO\perp EF$ nên $AO\perp ME$.
 
3) Chú ý hai tam giác $DBF$ và $DCE$ đồng dạng nên $\frac{S_{DBF}}{S_{DCE}}=\frac{BF^2}{CE^2}$. Từ đó  $1=\frac{MB}{MC}=\frac{S_{DAB}}{S_{DAC}}=\frac{S_{DAB}}{S_{DBF}}.\frac{S_{DBF}}{S_{DEC}}.\frac{S_{DEC}}{S_{DAC}}=\frac{AB}{BF}.\frac{BF^2}{CE^2}.\frac{CE}{AC}=\frac{AB.BF}{AC.CE}$.  Từ đó $\frac{BF}{CE}=\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}=\frac{NF}{NE}$. Từ đó vẫn theo tính chất phân giác thì $\frac{PN}{PC}=\frac{EN}{EC}=\frac{FN}{FB}=\frac{QN}{QB}$ nên $PQ\parallel BC$.


#11 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 19-01-2017 - 22:29

Bài toán 10 (TTT2 số 165). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với $AB<AC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $AD$ là đường kính của $(O)$. $DB$ cắt $OT,AT$ tại $E,F$. $EO$ cắt $(AEF)$ tại $G$. Chứng minh rằng tâm nội tiếp tam giác $AGB$ nằm trên $(O)$.

 

(Bài này đã hết hạn trên TTT2 nhưng mình thấy đáp án trên báo hơi dài, hôm qua có một bạn giải ngắn gọn hơn) 



#12 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết

Đã gửi 20-01-2017 - 11:12

Bài 7, câu 3: M là trung điểm của BC nên $\frac{AB}{AC}=\frac{DC}{DB}$

 

Tam giác ABC và AEF đồng dạng nên $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$

 

Ta có $\frac{CE}{BF}=\frac{DC}{DB}=\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}=\frac{NE}{NF}$

 

Từ đó có  $\frac{NF}{BF}=\frac{NE}{CE}$

 

Vậy $\frac{NQ}{BQ}=\frac{NP}{BP}$ hay PQ // BC

 

Mình nghĩ cách này gọn hơn.



#13 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết

Đã gửi 20-01-2017 - 11:31

Bài toán 10 (TTT2 số 165). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với $AB<AC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $AD$ là đường kính của $(O)$. $DB$ cắt $OT,AT$ tại $E,F$. $EO$ cắt $(AEF)$ tại $G$. Chứng minh rằng tâm nội tiếp tam giác $AGB$ nằm trên $(O)$.

 

(Bài này đã hết hạn trên TTT2 nhưng mình thấy đáp án trên báo hơi dài, hôm qua có một bạn giải ngắn gọn hơn) 

 

Bài 10:

 

2017_01_20_112634.png

Gọi I là giao điểm của GO và (O).

 

Tứ giác AFEG là tứ giác nội tiếp nên góc $\angle AGO=\angle AFE$

 

Lại có góc $\angle AFE=\angle AFD=\angle OAB=\angle OBA $ nên $\angle AGO=\angle ABO$ hay AGBO là tứ giác nội tiếp. Do đó $\angle BGO=\angle AGO=\angle ABO$ hay GO là phân giác góc AGB.

 

Xét tam giác GAB có đường tròn ngoại tiếp (GAB) và O là trung điểm của cung AB không chứa G. OI = OA = OB nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác GAB.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantv2006: 20-01-2017 - 15:29


#14 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2017 - 19:35

Mình xin đóng góp 1 bài :

 

Bài toán 11 (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016). Cho tam giác nhọn $ABC (AB<AC), M$ là trung điểm của $BC, O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp . Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H.$ Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S.$ Gọi $X, Y$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $EF$ với các đường thẳng $BS, AO.$ Chứng minh rằng

 

a) $MX$ vuông góc với $BF.$

 

b) Tam giác $SMX$ đồng dạng với Tam giác $DHF.$

 

c) $\frac{EF}{FY}=\frac{BC}{CD}.$
 

 

-------------------------------
Hi thầy Hùng , em góp ý với thầy và các bạn là ở mỗi bài toán chúng ta giải thì chúng ta nên nêu ý tưởng giải để giúp người đọc hiểu ý nghĩa hơn ! :D Cũng như kinh nghiệm của nhau, chứ cứ giải ào ào mà người đọc khó hiểu thì cũng không nên ! Một lời giải bài toán nó có ý nghĩa khi ai cũng hiểu được ! :D :like


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 20-01-2017 - 21:42
Sửa trình bày


#15 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2017 - 20:14

a) ý tưởng của câu này là sử dụng tính chất của đường trung trực để chứng minh MX vuông góc với BF Dễ thấy MF=MB do tam giác BEC vuông , M là trung điểm của BC ! Ta cần chứng minh XF=XB, hay $\angle XFB = \angle XBF$ mà góc XBF = góc ACB nên ta cần chứng minh góc XFB= gÓC ACB hay góc AFE bằng góc ACB ( hiển nhiên vì tứ giác EFCB nội tiếp)

 

b) Dễ thấy MX vuông góc với AB, HF vuông góc với AB nên MX//HF MS vuông góc với BC, HD vuông góc với BC nên MS//HD Mặt khác tứ giác CAFD nội tiếp và SB tiếp xúc với (O) tại B nên $\angle SBD=\angle BAC=\angle BDF$ Suy ra SX//DF. Do đó tam giác MXS đồng dạng với HFD ( các cặp cạnh tương ứng)

 

c) Ta có: $\angle OAE=\frac{180-\angle AOC}{2}=90-\angle ABC=90-\angle AEF$ Suy ra OA vuông góc với EF. Dễ dàng chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC; Tam giác AFY đồng dạng với Tam giác ACD. Suy ra$\frac{FY}{CD}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}\rightarrow \frac{EF}{FY}=\frac{BC}{CD}$

 

@Uchiha sisui Em cố gắng edit cho tất cả ký hiệu toán vào latex đi rồi xóa dòng này đi (QH).

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 20-01-2017 - 21:41


#16 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2017 - 20:28

Bài toán 12 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 trường Phổ thông năng khiếu ĐHQG TP Hồ Chí Minh, năm 2015-2016). Cho tam giác $ABC$ ( $AB<AC$) có các góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $E$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$, $F$ là điểm đối xứng của $E$ qua $M$. 

 

a) Chứng minh rằng $EB^{2}=EF.EO$

 

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AE$ và $BC$. Chứng minh các điểm $A, D, O, F$ cùng thuộc một đường tròn. 

 

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $P$ là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ sao cho $P, O, F$ không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $POF$ đi qua một điểm cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 20-01-2017 - 21:34
Sửa latex


#17 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2017 - 20:35

Bài toán 13 ( Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2014-2015). Cho hình vuông $ABCD$ với tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, Các điểm $N, P$ thuộc $BC, CD$ sao cho $MN\parallel AP$.

 

1) Chứng minh rằng ​​tam giác $BNO$ đồng dạng với tam giác $DOP$ và $\angle NOP=45^{\circ}$.

 

2) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $NOP$ thuộc $OC$ và ba đường thẳng $BD, AN, PM$ đồng quy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 21-01-2017 - 00:18
Sủa latex


#18 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 21-01-2017 - 00:53

Xin lỗi vì lúc nãy mình xem lướt quá không đọc rõ. Mình xin nói lại thế này thế này, việc các thành viên đóng góp lời giải nói chung là rất đáng trân trọng. Còn việc nói ý tưởng hay không thì điều đó khong mấy quan trọng vì việc giải được một bài toán xuất phát từ một quá trình học tập lâu dài và đúc rút nhiều kinh nghiệm giải. Ai cũng cần phải lao động chứ không ai bày cỗ sẵn để ăn được. Do đó việc các thành viên đóng góp lời giải là đáng quý rồi, còn ai không hiểu thì hỏi.

 

Mình đề nghị bạn Uchiha sisui post bài đúng theo quy định và giải bài nào thì ghi rõ ràng.

 

Xin đề nghị các bài toán tiếp

 

Bài toán 14 (Vô địch Nga lớp 9 vòng các tỉnh). Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn Euler là $N$ và tâm nội tiếp $I$. Giả sử $A,I,N$ thẳng hàng, chứng minh rằng $\angle BAC=60^\circ$.

 

Bài toán 15 (Thi thử chuyên KHTN năm 2011, vòng 1, đợt 1). Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$. $M$ di chuyển trên đường thẳng AB nhưng ở ngoài đoạn $AB$. Dựng các tiếp tuyến $MP,MQ$ của $(O)$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MPQ$ luôn đi qua một điểm cố định khác $O$.

 

Bài toán 16 (Thi thử chuyên KHTN năm 2011, vòng 2, đợt 1). Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O)$, độ dài đường cao là $H$. $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ của $(O)$. Gọi $A',B',C'$ là hình chiếu của $M$ lên $BC,CA,AB$.

 
1) Chứng minh rằng $\dfrac{MB'}{MC'}+\dfrac{MC'}{MB'}-\dfrac{h}{MA'}$ không đổi khi $M$ di chuyển trên cung nhỏ $BC$.
 
2) Chứng minh rằng $MA'\le \dfrac{h}{3}$. 


#19 Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Củ Chi
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 27-01-2017 - 21:34

Lời giải bài 14 : 

373.PNG

Gọi $H, O$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$ thì $N$ là trung điểm $OH$. Kẻ đường kính $AD$ của $(O)$. Hạ $OK \perp BC$

Ta có $\angle{HAN} = \angle{BAN} - \angle{BAH} = \angle{BAN} - (90^\circ - \angle{ABC})$

$\angle{OAN} = \angle{CAN} - \angle{CAD} = \angle{CAN} - (90^\circ - \angle{ADC})$

Mà $\angle{BAN} = \angle{CAN}$ và $\angle{ABC} = \angle{ADC}$ nên $\angle{HAN} = \angle{OAN}$

$\implies AN$ là đường phân giác trong $\triangle{HAO}$, mà $AN$ đồng thời là đường trung tuyến nên $\triangle{AHO}$ cân tại $A \implies AH = AO$

Lại có $AH = 2OK$ và $AO = BO$ nên $BO = 2OK \implies \cos BOK = \dfrac{OK}{BO} = \dfrac12 \implies \angle{BOK} = 60^\circ$

Mà $\angle{BAC} = \angle{BOK} ( = \dfrac12 \angle{BOC})$ nên $\angle{BAC} = 60^\circ$



#20 anhdam1408

anhdam1408

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Học toán, đi bộ, nghe XoneFM

Đã gửi 27-01-2017 - 23:27

Bài 17(V2 chuyên Hà Tĩnh 2016 2017): Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O). E$ di động trên cung nhỏ $AB (E$ khác $A,B).$ Từ $B$ và $C$ kẻ các tiếp tuyến với $(O)$ cắt $AE$ ở $M,N.$ Gọi $F$ là giao điểm của $BN$ và $CM.$ Chứng minh rằng: 
$a, MB.MC=BC^{2}$
$b,$ Khi $E$ di chuyển trên cung nhỏ $AB$ thì $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.
 
Bài 18(V2 chuyên Thái Nguyên 2015 2016): Cho tứ giác $ABCD.$ Các đường phân giác của hai góc $\angle BAD$ và $\angle ABC $cắt nhau ở $M.$ Các đường phân giác của hai góc $\angle BCD$ và $\angle ADC$ cắt nhau ở $N.$ Giả sử đường thẳng $BM$ vắt $CN$ ở $P, AM$ cắt $DN$ ở $Q.$ 
a, CMR: bốn điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn
b,Kí hiệu $I, K, J, H$ lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác $MAB, NCD, PBC, QAD.$ Các đường thẳng $MI, NK, PJ, QH$ cắt đường tròn đi qua bốn điểm $M,N,P,Q$ tại $I_{1}, K_{1}, J_{1}, H_{1}.$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-01-2017 - 20:37
$LaTeX$

--- Trí tưởng tượng quan trọng hơn tri thức ---

        -------------Albert Einstein-------------






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh