Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic ôn thi hình học vào cấp 3 chuyên

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 239 trả lời

#21 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 28-01-2017 - 13:27

Em xin góp 1 bài:

Bài 19: [Đề thi vào 10 Chuyên Toán Phan Bội Châu - Nghệ An 2014 - 2015]

 

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AE và CF cắt nhau tại H. P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C). M, N là hình chiếu của P lên AB, AC. Chứng minh rằng: Trung điểm HP thuộc MN. 

Hình gửi kèm

  • pbc.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 29-01-2017 - 01:13


#22 Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Củ Chi, TPHCM
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 28-01-2017 - 14:17

Lời giải bài 19 :

374.PNG

Không mất tính tổng quát, giả sử $AB < AM$.

Lấy $Q$ đối xứng $P$ qua $M$.

Xét tứ giác $AHBQ$ có $\angle{AHB} + \angle{AQB} = (180^\circ - \angle{ACB}) + \angle{APB} = 180^\circ$ nên $AHBQ$ nội tiếp, suy ra $\angle{HQB} = \angle{HAB}$

Xét tứ giác $AMPN$ có $\angle{AMP} + \angle{ANP} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên $AMPN$ nội tiếp, suy ra $\angle{PMN} = \angle{PAN} = \angle{PAC}$

Ta có $\angle{PQH} \\ = \angle{PQB} + \angle{HQB} \\ = \angle{QPB} + \angle{HAB} \\ = [90^\circ - (\angle{BAP} + \angle{BPA})]+ \angle{HAB} \\ = (90^\circ - \angle{BCA}) - (\angle{BAP} - \angle{HAB}) \\ = \angle{CAH} - \angle{PAH} \\ = \angle{PAC} \\ = \angle{PMN}$

Suy ra $QH \parallel MN$, mà $MN$ đi qua trung điểm của $PQ$ nên $MN$ cũng đi qua trung điểm của $PH$. Ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 29-01-2017 - 09:59


#23 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 28-01-2017 - 15:43

Khang ơi bài trên là bài 18 nhé.
Bài 20: [Đề vào 10 chuyên Lê Qúy Đôn Đà Nẵng 2016 - 2017]

 

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}> 90^{0}$, AB < AC và nội tiếp đường tròn tâm O. Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt (O) tại điểm thứ hai D. Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại S. Trên cung nhỏ DC của (O) lấy điểm E, đường thẳng SE cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AE, AF với BC

a) Chứng minh rằng MODS là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng QB = PC


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 29-01-2017 - 01:13


#24 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 28-01-2017 - 19:57

Bài 20: [Đề vào 10 chuyên Lê Qúy Đôn Đà Nẵng 2016 - 2017]

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}> 90^{0}$, AB < AC và nội tiếp đường tròn tâm O. Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt (O) tại điểm thứ hai D. Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại S. Trên cung nhỏ DC của (O) lấy điểm E, đường thẳng SE cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AE, AF với BC

a) Chứng minh rằng MODS là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng QB = PC

NPT.JPG

Lời giải bài 20:

a) Tứ giác $MDOS$ có $\angle OMS=\angle ODS=90^{\circ}\Rightarrow $ $MDOS$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $T=FM\cap (O),P'=TD\cap AE.$ Áp dụng định lý $Pascal$ cho bộ $\begin{pmatrix} DET \\ FDA \end{pmatrix}$ ta được $M,P',S$ thẳng hàng. Do đó $P\equiv P'$ hay $FM,DP$ cắt nhau trên $(O).$ 

 $AD,FT$ là $2$ dây cung đi qua trung điểm $M$ của dây cung $BC,$ $AF\cap BC=Q,TD\cap BC=P.$ Theo định lý con bướm ta có $MQ=MP$ suy ra $QB=PC.$

 

P/S


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 29-01-2017 - 09:59

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#25 Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Củ Chi, TPHCM
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 28-01-2017 - 22:23

Spoiler

Lời giải khác cho *bài 20* :

375.PNG

a) Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $OM \perp BC$. Xét tứ giác $MODS$ có $\angle{OMS} + \angle{ODS} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên $MODS$ nội tiếp

b) Gọi $N$ là trung điểm $EF$, khi đó $OM \perp ED$, suy ra $O, M, N, D, S$ cùng thuộc một đường tròn.

Ta có $\angle{DEN} = \angle{DEF} = \angle{DAF} = \angle{QAM}$ và $\angle{END} = \angle{SND} = \angle{SMD} = \angle{AMQ}$ nên $\triangle{END} \sim \triangle{AMQ}$ theo TH g-g, suy ra $\dfrac{EN}{AM} = \dfrac{ND}{MQ}$

CMTT ta cũng có $\dfrac{FN}{AM} = \dfrac{ND}{MP}$, lại có $FN = EN$ nên suy ra $MQ = MP$, khi đó $QB = MB - MQ = MC - MP = PC$. Ta được đpcm



#26 Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Disney, Creepy Pasta

Đã gửi 28-01-2017 - 22:36

Bài toán 15 (Thi thử chuyên KHTN năm 2011, vòng 1, đợt 1). Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$. $M$ di chuyển trên đường thẳng AB nhưng ở ngoài đoạn $AB$. Dựng các tiếp tuyến $MP,MQ$ của $(O)$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MPQ$ luôn đi qua một điểm cố định khác $O$.

Capture2.PNG

Gọi $I$ trung điểm của $AB \Rightarrow MPOIQ$ nội tiếp $\Rightarrow POIQ$ nội tiếp $\Rightarrow \angle POQ=\angle PIQ$.

Mà $\angle POQ+\angle PMQ=180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle PIQ+\angle PMQ=180^{\circ} \Rightarrow PMQI$ là tứ giác nội tiếp. 

Do $AB$ cố định nên $I$ cố định. 



#27 Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Củ Chi, TPHCM
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 28-01-2017 - 22:37

Bài toán 15 (Thi thử chuyên KHTN năm 2011, vòng 1, đợt 1). Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$. $M$ di chuyển trên đường thẳng AB nhưng ở ngoài đoạn $AB$. Dựng các tiếp tuyến $MP,MQ$ của $(O)$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MPQ$ luôn đi qua một điểm cố định khác $O$.

 

 

Lời giải cho bài 15 :

376.PNG

Gọi $N$ là hình chiếu của $O$ trên $AB$, suy ra $N$ là trung điểm $AB$ và $O, M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn. Suy ra $(MPQ)$ đi qua điểm $N$ cố định. Ta được đpcm



#28 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 29-01-2017 - 01:59

Vấn đề đã được khắc phục mình đã chỉnh sửa lại thứ tự của các bài. Bởi vì trước đó bạn Anhdam1408 gõ latex sai nên mình nhìn nhầm tưởng có bài 17 (Sau được Hà Ngọc Khánh sửa lại ) nên mới xảy ra sự việc như vậy mình thành thật xin lỗi !
Bài 20 được thầy Hùng giải tại đây: http://diendantoanho...-2017/?p=646883

Bài 21: [Đề TS vào lớp 10 THPT Chuyên Ngoại Ngữ, Đại học Ngoại Ngữ, Đại học Quốc gia Hà Nội 2014 - 2015]

Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.

a) Chứng minh: BCQP nội tiếp.

b) PQ kéo dài cắt BC tại M. Chứng minh : $MH^{2}=MB.MC$.

c) K là giao điểm của MA với đường tròn (O) (K khác A). I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh rằng: I, H, K thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • dhnn.png


#29 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 30-01-2017 - 18:54

Bài 21: [Đề TS vào lớp 10 THPT Chuyên Ngoại Ngữ, Đại học Ngoại Ngữ, Đại học Quốc gia Hà Nội 2014 - 2015]

Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.

a) Chứng minh: BCQP nội tiếp.

b) PQ kéo dài cắt BC tại M. Chứng minh : $MH^{2}=MB.MC$.

c) K là giao điểm của MA với đường tròn (O) (K khác A). I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh rằng: I, H, K thẳng hàng.

Lời giải bài 21:

npt2.JPG

 

a) Ta có: $\widehat{APQ}=\widehat{AHQ}=\widehat{QCB}\Rightarrow \text{đpcm}$

b) $\widehat{MHP}=\widehat{BAH}=\widehat{MQH}\Rightarrow \Delta MHP\sim \Delta MQH\Rightarrow MH^2=MP.MQ$

c) $MH^2=MP.MQ=MB.MC=MK.MA\Rightarrow \Delta MHK\sim \Delta MAH\Rightarrow HK \perp AM(1)$

 Gọi $S,T$ lần lượt là trung điểm của $BQ,CP.$ Ta có: $MP.MQ=MK.MA$ nên tứ giác $KAQP$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KPA}=\widehat{KQA}\Rightarrow \widehat{KPB}=\widehat{KQC}$ mà $\widehat{KBA}=\widehat{KCA}\Rightarrow \widehat{KBP}=\widehat{KCQ}$ suy ra $\Delta KBP\sim \Delta KCQ\Rightarrow \Delta KSP\sim \Delta KTQ\Rightarrow \widehat{KSP}=\widehat{KTQ}\Rightarrow \widehat{KSA}=\widehat{KTA}$ suy ra tứ giác $KATS$ nội tiếp mà tứ giác $SATI$ nội tiếp do đó $5$ điểm $K,A,T,I,S$ cùng thuộc $1$ đường tròn. Do đó $\widehat{IKA}=\widehat{ISA}=90^{\circ}\Rightarrow IK \perp AM(2)$

 Từ $(1),(2)$ suy ra $I,H,K$ thẳng hàng.

 

Bài 22 (Đề thi vào chuyên toán THPT chuyên Vĩnh Phúc 2013-2014):

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC).$ Gọi $D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $A,B,C.$ Gọi $P=BC\cap EF.$ Đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ cắt $AB,AC,CF$ lần lượt tại $Q,R,S.$ Chứng minh rằng: 

 a) Tứ giác $BQCR$ nội tiếp.

 b) $D$ là trung điểm của $QS.$

 c) $(PQR)$ chia đôi $BC.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 30-01-2017 - 18:56

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#30 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 12-02-2017 - 21:03

Tiếp tục với Topic nào:
Bài 23: [Đề vòng 1 ĐHSP Hà Nội 2016-2017]

Cho 3 điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A và B. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.

a/ Chứng minh: AMPC, BMPD là các tứ giác nội tiếp.

b/ Chứng minh: $\sqrt{CP.CB}+\sqrt{DP.DA}=AB$

c/ Đường thẳng nối tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp 2 tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang.

 

Bài 24:[Đề vòng 2 ĐHSP Hà Nội 2016-2017]

Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Kẻ đường cao AH. Đường tròn (O) đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. DE cắt BC tại S.

a/ Chứng minh: BDEC là tứ giác nội tiếp

b/ Chứng minh: $SB.SC=SH^{2}$

c/ SO cắt AB, AC tương ứng tại M và N, DE cắt HM, HN tương ứng tại P và Q. Chứng minh BP, CQ và AH đồng quy.



#31 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 12-02-2017 - 22:44

Mình cũng muốn đề nghị một bài toán do mình chế khá phù hợp với kiến thức THCS:

Bài 25: Cho tam giác $ABC$. Lấy $D$ là 1 điểm bất kì trên cạnh $AC$, lần lượt lấy các điểm $P,Q$ trên $BD,BC$ sao cho $P,Q$ là trung điểm $BD,BC$. Gọi $AP\cap BC=M,AQ\cap BD=N$. Chứng minh rằng: $PQ$ chia đôi $MN$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 12-02-2017 - 23:17

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#32 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 15-02-2017 - 20:51

Lời giải bài 23:

a) Ta có $\Delta CMB=\Delta AMD(c.g.c)\Rightarrow \widehat{MAD}=\widehat{MCB},\widehat{MDA}=\widehat{MBC}\Rightarrow$ tứ giác $AMPC,BMPD$ nội tiếp.

b) $\widehat{CMP}=\widehat{CAP}=\widehat{PDM}=\widehat{CBM}\Rightarrow \Delta CMP\sim \Delta CBM(g.g)\Rightarrow CP.CB=CM^2=AM^2\Rightarrow \sqrt{CP.CB}=AM.$ Tương tự cũng có $\sqrt{DP.DA}=MB\Rightarrow \text{đpcm}$

 

Lời giải bài 24:

a) $\widehat{ADE}=\widehat{AHE}=\widehat{ECB}\Rightarrow$ tứ giác $BDEC$ nội tiếp.

b) $\widehat{SHD}=\widehat{BAH}=\widehat{SEH}\Rightarrow SB.SC=SH^2(=SD.SE)$

c) Lấy $K$ đối xứng $H$ qua $S$ thì $SO//AK$ hay $SM//AK$ suy ra $\frac{BM}{MA}=\frac{BS}{SK}=\frac{BS}{SH}$
Mặt khác,  $SB.SC=SH^2\Rightarrow SB.HC=SH^2-SB.SH=SH.BH\Rightarrow \frac{BS}{SH}=\frac{BH}{HC}$ do đó $\frac{BM}{MA}=\frac{BH}{HC}\Rightarrow MH//AC$ hay $HP//EC.$ Từ đây suy ra tứ giác $BDPH$ nội tiếp $\Rightarrow BPH=\widehat{BDP}=90 ^{\circ}\Rightarrow BP \perp MH\Rightarrow BP \perp AC$

Cmtt, $CQ \perp AB$ suy ra đpcm.
 

Lời giải bài 25:

Dễ thấy $PQ$ đi qua trung điểm $K$ của $AB.$ Áp dụng định lí $Ceva$ cho tam giác $QAB$ có: $\frac{NA}{NQ}.\frac{KB}{KA}.\frac{MQ}{MB}=1\Rightarrow \frac{QN}{NA}=\frac{QM}{MB}\Rightarrow MN//AB.$ MÀ $PQ$ đi qua trung điểm của $AB$ do đó $PQ$ đi qua trung điểm của $MN.$ 


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#33 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 15-02-2017 - 22:30

Mình đề nghị bài tiếp theo cũng là do mình chế, khá phù hợp với các bạn cấp 2 ôn thi:

Bài 26: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(K)$ qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$. Một đường thẳng $d$ qua $A$ sao cho $d$ cắt $(O),(AEF)$ lần lượt lại $M,N$. Chứng minh rằng: $KM=KN$.


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#34 Naix

Naix

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 20-02-2017 - 14:38

Bài 22 (Đề thi vào chuyên toán THPT chuyên Vĩnh Phúc 2013-2014):

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC).$ Gọi $D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $A,B,C.$ Gọi $P=BC\cap EF.$ Đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ cắt $AB,AC,CF$ lần lượt tại $Q,R,S.$ Chứng minh rằng: 

 a) Tứ giác $BQCR$ nội tiếp.

 b) $D$ là trung điểm của $QS.$

 c) $(PQR)$ chia đôi $BC.$

 

Capture.PNG

 

a, Vì $EF \parallel RQ$ nên $\angle BQR=\angle AFE=\angle RCB$ suy ra $BQCR$ nội tiếp.

 

b, Dễ thấy $EB, EC$ lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài đỉnh $E$ của tam giác $EDP,$ do đó 

\[\frac{BD}{BP}=\frac{ED}{EP}=\frac{CD}{CP}\]

Chú ý rằng $QS \parallel PF$ nên theo Thales $\frac{DQ}{PF}=\frac{BD}{BP}=\frac{CD}{CP}=\frac{DS}{PF},$ thành thử $DQ=DS.$

 

c, Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ ta có $EMDF$ nội tiếp, từ đó $\triangle PDF \sim \triangle EDM \mbox{ (g.g)}$ suy ra $DP.DM=DE.DF$

Ta có $\angle DQF=\angle AFE =\angle DFQ$ suy ra $DQ=DF,$ tương tự $DE=DR.$

Bởi vậy $DP.DM=DE.DF=DQ.DR$ suy ra $PQMR$ nội tiếp hay $(PQR)$ đi qua $M.$

 

Mình đề nghị bài tiếp theo cũng là do mình chế, khá phù hợp với các bạn cấp 2 ôn thi:

Bài 26: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(K)$ qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$. Một đường thẳng $d$ qua $A$ sao cho $d$ cắt $(O),(AEF)$ lần lượt lại $M,N$. Chứng minh rằng: $KM=KN$.

 

1.PNG

 

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF.$

Ta có $\angle OAC+\angle AFE=\angle OAC+\angle ABC=90^{\circ}$ suy ra $OA \perp EF,$ tương tự cũng có $IA \perp BC.$

 Theo tính chất đường nối tâm thì $IK \perp EF, OK \perp BC$ do đó $AIKO$ là một hình bình hành, bởi vậy 

\[IN=IA=OK,\ IK=OA=OM\]

 Chú ý rằng $\triangle ENF \sim \triangle BMC \mbox{ (g.g)}$ nên sử dụng biến đổi góc thu được $\angle NIK =\angle KOM,$ thành thử $\triangle NIK =\triangle KOM \mbox{ (c.g.c)}$ suy ra $KM=KN.$



#35 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 20-02-2017 - 20:59

 

attachicon.gifCapture.PNG

 

a, Vì $EF \parallel RQ$ nên $\angle BQR=\angle AFE=\angle RCB$ suy ra $BQCR$ nội tiếp.

 

b, Dễ thấy $EB, EC$ lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài đỉnh $E$ của tam giác $EDP,$ do đó 

\[\frac{BD}{BP}=\frac{ED}{EP}=\frac{CD}{CP}\]

Chú ý rằng $QS \parallel PF$ nên theo Thales $\frac{DQ}{PF}=\frac{BD}{BP}=\frac{CD}{CP}=\frac{DS}{PF},$ thành thử $DQ=DS.$

 

c, Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ ta có $EMDF$ nội tiếp, từ đó $\triangle PDF \sim \triangle EDM \mbox{ (g.g)}$ suy ra $DP.DM=DE.DF$

Ta có $\angle DQF=\angle AFE =\angle DFQ$ suy ra $DQ=DF,$ tương tự $DE=DR.$

Bởi vậy $DP.DM=DE.DF=DQ.DR$ suy ra $PQMR$ nội tiếp hay $(PQR)$ đi qua $M.$

 

 

attachicon.gif1.PNG

 

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF.$

Ta có $\angle OAC+\angle AFE=\angle OAC+\angle ABC=90^{\circ}$ suy ra $OA \perp EF,$ tương tự cũng có $IA \perp BC.$

 Theo tính chất đường nối tâm thì $IK \perp EF, OK \perp BC$ do đó $AIKO$ là một hình bình hành, bởi vậy 

\[IN=IA=OK,\ IK=OA=OM\]

 Chú ý rằng $\triangle ENF \sim \triangle BMC \mbox{ (g.g)}$ nên sử dụng biến đổi góc thu được $\angle NIK =\angle KOM,$ thành thử $\triangle NIK =\triangle KOM \mbox{ (c.g.c)}$ suy ra $KM=KN.$

 

Rất hay tuy nhiên đây chỉ là chứng minh cho 1 TH hình vẽ thôi, nếu đi thi chắc là bạn sẽ mất điểm :)) 

Bài 27(Tổng quát bài 26)(Nguyễn Quang Trung)Cho tam giác $ABC$ có $E,F$ bất kì thuộc $AC,AB$. Trung trực $BF,CE$ cắt nhau ở $K$. Một đường thẳng qua $A$ sao cho cắt $(AEF),(O)$ tại các điểm $P,Q$ khác $A$. Chứng minh $KP=KQ$. 


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#36 Naix

Naix

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 21-02-2017 - 09:35

Rất hay tuy nhiên đây chỉ là chứng minh cho 1 TH hình vẽ thôi, nếu đi thi chắc là bạn sẽ mất điểm :)) 

Bài 27(Tổng quát bài 26)(Nguyễn Quang Trung)Cho tam giác $ABC$ có $E,F$ bất kì thuộc $AC,AB$. Trung trực $BF,CE$ cắt nhau ở $K$. Một đường thẳng qua $A$ sao cho cắt $(AEF),(O)$ tại các điểm $P,Q$ khác $A$. Chứng minh $KP=KQ$. 

 

Thực ra các trường hợp khác có thể chứng minh tương tự được. Bạn có thể chia sẻ lời giải bài 26 để mọi người tham khảo được không?



#37 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 21-02-2017 - 22:02

Thực ra các trường hợp khác có thể chứng minh tương tự được. Bạn có thể chia sẻ lời giải bài 26 để mọi người tham khảo được không?

Mình sẽ giới thiệu trong bài viết trên blog của mình, các bạn đón xem sau


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#38 MathLover2002

MathLover2002

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 03-03-2017 - 17:56

Mình xin đóng góp bài này:

Bài 27: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có trực tâm H, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Kẻ các đường cao BE, CF của tam giác ABC. EF cắt (O) tại M, N (M nằm trên cung AB không chứa C, M khác N). Gọi I là trung điểm của BC. MI cắt (O) tại K (K khác M). Chứng minh: AK vuông góc với HN. 



#39 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 15-03-2017 - 20:00

Đáp án bài 26. Nguồn: Blog của anh Khương. 

Tham khảo tại : https://khuongworldofgeo.blogspot.com/

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#40 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 15-03-2017 - 21:33

Bài 28: (Đề chọn đội tuyển thi VMO - Hà Nội 2014 - 2015)

Cho tứ giác ABCD (AB < BD) nội tiếp (O) biết AC = CD. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD. Gọi (BIC) cắt AB tại điểm thứ hai là F. Gọi E là trung điểm AD. Chứng minh rằng: AI vuông góc với EF.

Bài này vẫn có thể giải theo cách THCS.

 

Mình xin đóng góp bài này

Bài 27: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có trực tâm H, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Kẻ các đường cao BE, CF của tam giác ABC. EF cắt (O) tại M, N (M nằm trên cung AB không chứa C, M khác N). Gọi I là trung điểm của BC. MI cắt (O) tại K (K khác M). Chứng minh: AK vuông góc với HN. 

Xin bạn hãy ghi nguồn rõ ràng theo đúng quy định của topic!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 16-03-2017 - 14:56






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh