Chủ đề này có 239 trả lời

[Mr Cooper]

$\boxed{43}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ các đường cao $BE,CF,AD$ cắt nhau tại $H$, lấy $H$' đối xứng với $H$ qua $BC$, $H'E$ cắt $(O)$ tại $M$. Chứng minh $BM$ đi qua trung điểm $EF$.

1 cách khác cho bài 43 

$\boxed{\text{Lời giải bài 43}}$

Gọi $I$ là giao điểm của $BM$ và $EF$. Từ $E$ kẻ đường vuông góc với AB tại $K$

Bổ đề: $H'$ đối xứng với trực tâm $H$ qua $BC$

$\Rightarrow H' $ thuộc đường tròn tâm $(O)$ 

Tứ giác $BCEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{FEB}= \widehat{BCF}$

$\widehat{BCF} = \widehat{BAD}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

$\widehat{BAD}=\widehat{BMH'}$ (cùng chắn cung $BH'$)

$\Rightarrow \widehat{FEB}=\widehat{BMH'}$

$\Rightarrow \Delta BEI \sim \Delta BME $ (g.g)$\Rightarrow BE^2 = BI.BM$

Hệ thức lượng: $BE^2=BK.AB$

$ \Rightarrow BI.BM=BK.AB$ $\Leftrightarrow \dfrac{BK}{BM} = \dfrac{BI}{AB}$

$\Rightarrow \Delta BIK \sim \Delta BAM \Rightarrow \widehat{BKI} = \widehat{BMA}$

Mà $\widehat{BMA}=\widehat{BCA}=\widehat{AFE}$ $\Rightarrow \widehat{BKI}=\widehat{AFE}$ hay $\widehat{FKI}=\widehat{KFI}$

$\Rightarrow \Delta KFI$ là tam giác cân tại I

$\Rightarrow IK=IF$ $\Rightarrow IK=IF=IE=\dfrac{1}{2}EF$

Vậy $BM$ đi qua trung điểm $I$ của $EF$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 11-04-2017 - 10:14

[Nguyenphuctang]

Xin bổ sung nguồn của bài 43: Diễn đàn AoPS và đây chính là 1 phần của bài hình VMO 2017. 

Dưới đây là 1 số cách chứng minh khác của thầy Trần Quang Hùng.

 epsilon3HungNgoc.pdf   547.34K   490 Số lần tải

[hathanh123]

Xin bổ sung nguồn của bài 43: Diễn đàn AoPS và đây chính là 1 phần của bài hình VMO 2017. 

Dưới đây là 1 số cách chứng minh khác của thầy Trần Quang Hùng.

 

Nhờ giải bằng kiến thức lớp 9:

 

Bài 44: Từ một điểm M ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB  và cát tuyến MCD với (O)(tia MD nằm giữa 2 tia MA và  MO). Trên tia AD lấy điểm E sao cho D là trung điểm AE. ME cắt AB tại F. Chứng minh CF // AE.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hathanh123: 15-04-2017 - 13:45

[diemdaotran]

tam giác ABC nội tiep (O,R) voi BC=a; AC=b; AB=c. Lấy điểm I bất kì trong tam giác gọi x,y,z lần lượt là các khoảng cách từ I đến BC,AC,AB. CM

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$

[Nguyenphuctang]

Nhờ giải bằng kiến thức lớp 9:

 

Bài 44: Từ một điểm M ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB  và cát tuyến MCD với (O)(tia MD nằm giữa 2 tia MA và  MO). Trên tia AD lấy điểm E sao cho D là trung điểm AE. ME cắt AB tại F. Chứng minh CF // AE.

Xin các bạn ghi nguồn rõ ràng từng bài và đánh số bài. Riêng bài: 

 

tam giác ABC nội tiep (O,R) voi BC=a; AC=b; AB=c. Lấy điểm I bất kì trong tam giác gọi x,y,z lần lượt là các khoảng cách từ I đến BC,AC,AB. CM

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$

 đây là bài luyện tập nhé. 

1 lần nữa xin nhắc nhở các thành viên đọc kĩ nội quy của topic thầy Hùng ở trang 1. 

Bài 47: (Thi thử KHTN đợt 3 vòng 2 2016 - 2017)

Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Giả sử có điểm $P$ nằm trên cung $BC$ không chứa diểm $A$ và các điểm $E,F$ lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $CA,AB$ sao cho $CE=PB, BF=PC$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$.

        a) Chứng minh rằng $MB\perp MC$.

       

        b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ tại $G$ ($G$ khác $A$). Chứng minh rằng $PG$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $BC$.

Xin hết.

[Mr Cooper]

Bài 47: (Thi thử KHTN đợt 3 vòng 2 2016-2017).

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Giả sử có điểm $P$ nằm trên cung $BC$ không chứa diểm $A$ và các điểm $E,F$ lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $CA,AB$ sao cho $CE=PB, BF=PC$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$.

        a) Chứng minh rằng $MB\perp MC$.

        b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ tại $G$ ($G$ khác $A$). Chứng minh rằng $PG$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $BC$.

Lời giải xem tại đây

Bài 48. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(I)$ đi qua $B$ và $C$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự $M$ và $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $D$. Chứng minh rằng: $AD \perp DI$

[Minhnksc]

Bài 48:

Dễ dàng chứng minh được $AO\perp MN$

Lại có K và I cùng thuộc đường trung trực của MN nên $KI\perp MN$

Do đó $KI\parallel  AO$

tương tự $AK\parallel OI$ nên AOIK là hình bình hành

gọi giao điểm của AI và OK là J $\Rightarrow$ J là trung điểm của AI

$\Rightarrow JA=AI$(1)

mà O và K cùng thuộc đường trung trực của AD và $J\in OK$ nên $JD=JA$(2)

Từ (1) và (2) tam giác ADI có trung tuyến bằng nửa cạnh huyền nên suy ra đpcm.

 

[Minhnksc]

Bài 49: Chuyên LHP NĐ 06-07

   Cho tam giác nhọn ABC với AH vuông góc với BC .M  là điểm di chuyển trên đoạn BC.Đường trung trực BM cắt AB tại E và đường trung trực của CM cắt AC tại F.Qua M dựng đường thẳng Mx vuông góc với EF .Mx cắt  (E ; EM ) tại N

a)Cmr N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b)Mx luôn đi qua  1 điểm cố định K

c)Xác  định dạng của tam giác ABC để KM.KN  không đổi. 

[NHoang1608]

Bài 50: Thi thử vào Chuyên Toán ĐHSP 2014-2015.

Cho đường tròn $(O)$ có dây cung $BC$ không là 1 đường kình. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $S$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AB$, $M$ là trung điểm của$CH$. $AM$ cắt $(O)$ tại $N$.

a) Gọi  giao diểm của $SA$ và $BC$ là $D$. Chứng minh rằng: $CMDN$ nội tiếp.

b) Tia $SN$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$ Chứng minh rằng: $CE//SA$.

c) Chứng minh rằng: $CN$ chia đôi $SD$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 22-04-2017 - 22:06

[quanghung86]

Rất cám ơn các em đã đóng góp nhiệt tình cho topic với đặc biệt là nhiều đề hình hay của THPT chuyên KHTN. Vừa qua mình bị một số việc quan trọng phải xử lý nên không thường xuyên qua được. Giờ mọi việc tạm ổn, mình sẽ cố gắng quay lại thường xuyên hơn. Xin đóng góp một bài hình khá mới cho THCS của mình

 

Bài toán 51. Cho tam giác $ABC$ có $D$ nằm trên đoạn $BC$. $(K),(L)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADB,ADC$. $DR,DQ$ là đường kính của $(K),(L)$. $P$ thuộc đoạn $KL$ sao cho $DP\perp BC$. $QP,RP$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $\angle MAN=\angle BAC$.

 

[Uchiha sisui]

Rất cám ơn các em đã đóng góp nhiệt tình cho topic với đặc biệt là nhiều đề hình hay của THPT chuyên KHTN. Vừa qua mình bị một số việc quan trọng phải xử lý nên không thường xuyên qua được. Giờ mọi việc tạm ổn, mình sẽ cố gắng quay lại thường xuyên hơn. Xin đóng góp một bài hình khá mới cho THCS của mình

 

Bài toán 51. Cho tam giác $ABC$ có $D$ nằm trên đoạn $BC$. $(K),(L)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADB,ADC$. $DR,DQ$ là đường kính của $(K),(L)$. $P$ thuộc đoạn $KL$ sao cho $DP\perp BC$. $QP,RP$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $\angle MAN=\angle BAC$.

 

Figure5451.png

cố gắng từ giờ đến lúc thi được hơn 100 bài thầy ah     

[Uchiha sisui]

Bài của thầy Hùng hay thật ! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Uchiha sisui: 20-04-2017 - 16:51

[Mr Cooper]

Rất cám ơn các em đã đóng góp nhiệt tình cho topic với đặc biệt là nhiều đề hình hay của THPT chuyên KHTN. Vừa qua mình bị một số việc quan trọng phải xử lý nên không thường xuyên qua được. Giờ mọi việc tạm ổn, mình sẽ cố gắng quay lại thường xuyên hơn. Xin đóng góp một bài hình khá mới cho THCS của mình

 

Bài toán 51. Cho tam giác $ABC$ có $D$ nằm trên đoạn $BC$. $(K),(L)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADB,ADC$. $DR,DQ$ là đường kính của $(K),(L)$. $P$ thuộc đoạn $KL$ sao cho $DP\perp BC$. $QP,RP$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $\angle MAN=\angle BAC$.

 

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $KB,LC$ $\Rightarrow$ $J$ là giao điểm của $EF$ và $PD$

Gọi $X,Y$ lần lượt là giao điểm của $LJ,KJ$ với đường thẳng $BC$

Gọi $G,H$ là lần lượt là trung điểm $DB,DC$

Gọi $I$ là giao điểm của $KL$ và $BC$

Theo bổ đề $\text{Eriq}$ thì: $JP=JD$

Áp dụng định lý $\text{Menelaus}$ vào tam giác $PDI$ ta có:

$\dfrac{LP}{LI}.\dfrac{IX}{XD}.\dfrac{JP}{JD}=1$

$\Rightarrow \dfrac{LP}{LI}=\dfrac{XD}{IX}$

$\Rightarrow \dfrac{XD}{IX} = \dfrac{HI}{HD}$

$\Rightarrow (I,X,D,H)=-1$ (hàng điểm điều hòa) với $SD \perp LI$

$\Rightarrow SD$ là tia phân góc của $\angle XSH$ $(1)$

Chứng minh tương tự: $SD$ là tia phân giác của $\angle GSY$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \angle XSG = \angle YSH$

Dễ dàng chứng minh được: $\angle XSG = \angle MAB$ , $\angle YSH = \angle NAC$

$\Rightarrow  \angle MAB = \angle NAC$

$\Rightarrow \angle MAN=\angle BAC$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 20-04-2017 - 18:38

[quanghung86]

THCS không nên dùng hàng điều hòa, sau đây là đáp án

 

 

Giải bài 51. Gọi $CV$ là đường kính của $(L)$. $U$ thuộc $CV$ sao cho $MU\parallel DL$. Gọi $DP$ cắt $QR$ tại $X$ thì $P$ là trung điểm $DX$. Ta có $\frac{VL}{UL}=\frac{CL}{UL}=\frac{CD}{MD}=\frac{QV}{MD}=\frac{PV}{PD}=\frac{VP}{PX}$ do đó $XU\parallel PL\parallel QR$ nên $U$ thuộc $QR$. Từ đó $\angle AUM=\angle AQD=\angle ACD$ do đó tứ giác $AUCM$ nội tiếp. Dễ thấy tam giác $UMC$ cân do tam giác $LDC$ cân nên $AX$ là phân giác ngoài $\angle MAC$. Tương tự $AX$ cũng là phân giác ngoài $\angle NAB$ nên $\angle MAN=\angle BAC$.

[Minhnksc]

Mình mới tìm được một mở rộng cho bài hình thi thử KHTN vòng 2 đợt 3 2016-2017

Bài 52: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ ; tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$; gọi giao điểm của $AM$ và $(O)$ là $P$. Đường tròn $(B;BP)$ cắt $AB$ tại $H$; đường tròn $(C;CP)$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh $(AHK)$ và $(O)$ tiếp xúc với nhau.

[NHoang1608]

Mình mới tìm được một mở rộng cho bài hình thi thử KHTN vòng 2 đợt 3 2016-2017

Bài 52: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ ; tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$; gọi giao điểm của $AM$ và $(O)$ là $P$. Đường tròn $(B;BP)$ cắt $AB$ tại $H$; đường tròn $(C;CP)$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh $(AHK)$ và $(O)$ tiếp xúc với nhau.

Lời giải:

Dễ thấy $\frac{BP}{AB}=\frac{PC}{AC}$

Mà $BP=BH$ và $PC=KC$ suy ra $\frac{BH}{AB}=\frac{KC}{AC}$

Hay $HK//BC \Rightarrow \widehat{AKH}=\widehat{ACB}$

Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ và tiếp tuyến $Ax'$ của $(AHK)$ tại điểm $A$

$\Rightarrow \widehat{x'AH}=\widehat{AKH}=\widehat{ACB}=\widehat{xAB}$

$\Rightarrow$ Tia $Ax$ trùng với tia $Ax'$ hay $Ax$ là tiếp tuyến chung của $(O)$ và $(AHK)$. Từ đây dễ dàng suy ra $(AHK)$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$.

Spoiler

Mình chưa thấy được điểm chung của 2 bài toán. Có lẽ là $C;BP$ và $B;CP$ cắt $AB$ và $AC$ tại $H,K$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 21-04-2017 - 18:31

[NHoang1608]

Bài toán 53 (Thi thử vào chuyên Toán KHTN 2012). Cho tam giác $ABC (AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác góc $\widehat{BAC}$ cắt $(O)$ tại điểm $D$. Lấy $E$ đối xứng $D$ qua $O$. Gọi $F$ là 1 điểm thuộc cung $BD$ không chứa $A,C$ của $(O)$, $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy $H \in AF: GH//AD$. Chứng minh rằng: $HG$ là phân giác góc $BHC$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 22-04-2017 - 08:31

[Minhnksc]

 

Spoiler

Mình chưa thấy được điểm chung của 2 bài toán. Có lẽ là $C;BP$ và $B;CP$ cắt $AB$ và $AC$ tại $H,K$

Thật ra bài 52 có thể thay đổi giả thiết thành điểm P bất kì trên cung BC không chứa A; khi này $(AHK)$ không còn tiếp xúc với $(O)$ nữa nhưng nếu gọi Q là giao điểm của $(AHK)$ với $(O)$ thì $PQ$ vẫn đi qua M và kết quả này mình đã chứng minh bằng bài toán thi thử KHTN vòng 2 đợt 3 (đúng hơn là nhờ bài hình thi thử KHTN thì mình liên tưởng tới kết quả trên là dùng nó để giải) .Còn bài 52 là một trường hợp đặc biệt của kết quả trên khi $Q\equiv A$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 22-04-2017 - 21:24

[Mr Cooper]

Bài 50: Thi thử vào Chuyên Toán ĐHSP 2014-2015.

Cho đường tròn $(O)$ có dây cung $BC$ không là 1 đường kình. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $S$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AB$, $M$ là trung điểm của$CH$. $AM$ cắt $(O)$ tại $N$.

a) Gọi  giao diểm của $SA$ và $BC$ là $D$. Chứng minh rằng: $CMDN$ nội tiếp.

b) Tia $SA$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$ Chứng minh rằng: $CE//SA$.

c) Chứng minh rằng: $CN$ chia đôi $SD$.

a) $MC=MH ; DB=DC \Rightarrow DM \parallel AB \Rightarrow \angle BAN=  \angle DMN$

 và $ \angle BAN =  \angle DCN$ (cùng chắn cung $BC$)

$\Rightarrow \angle DMN = \angle DCN$

$\Rightarrow$ Tứ giác $CMDN$ nội tiếp

b) Bạn xem lại đề câu này nhé

c) Gọi $J$ là giao điểm của $CN$ và $SA$

Theo hệ thức lượng: $DJ^2 = JN.JC$ $(1)$

$\angle SBN = \angle BAN = \angle BCN = \angle JDN$

$\Rightarrow$ Tứ giác $BDNS$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle DSN = \angle DBN = \angle NAC = \angle JCS$

$\Rightarrow \Delta JSN \sim \Delta JCS$ $(g.g)$

$\Rightarrow JS^2 = JN.JC$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $JS=JD$

$\Rightarrow$ $CN$ chia đôi $SD$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 22-04-2017 - 19:06

[NHoang1608]

Mình đã sửa đề câu $b)$ bài số $50$, mời mọi người cũng giải nhé.

 

Bài toán 54 (Nguyễn Minh Hà). Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AH,BC$. Gọi $P,Q$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $N$ xuống $BH,CH$.Chứng minh rằng $MN$ đi qua trung điểm của $PQ$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 22-04-2017 - 22:05