Chủ đề này có 2 trả lời

[khanh123]

Tìm các số nguyên dương a,b,c,d sao cho a+b+c+d-3=ab và a+b+c+d-3=cd

[viet9a14124869]

đề thi giáo viên giỏi môn toán hôm trước tỉnh vĩnh phúc à ,,, đây cũng chưa bit làm

[quantv2006]

Từ a+b+c+d-3=ab, ta có (a-1)(b-1)=(c-1)+(d-1)

 

Tương tự ta có (c-1)(d-1) = (a-1)+(b-1)

 

Nhận thấy nếu bất kỳ số nào trong (a, b, c, d) bằng 1 thì các số còn lại cũng bằng 1. a=b=c=d=1 là 1 nghiệm của 2 phương trình trên.

 

Với a, b, c, d >1, đặt m=a-1; n=b-1, p=c-1, q=d-1. Ta có

 

mn=p+q (1); pq = m+n (2)

 

(lưu ý m, n, p, q nguyên dương)

 

- Nếu (m,n,p,q) >1 thì (m-1)(n-1)>0, mn>=m+n; pq>= p+q. Vậy mn>=(m+n)=pq>=p+q. Dấu '=' xảy ra khi mn=m+n và pq=p+q hay (m-1)(n-1)=1 và (p-1)(q-1)=1. Từ đó có m=n=p=q=2, hay a=b=c=d=3 .

- Nếu trong (m, n, p, q) có 1 số =1, giả sử m=1. Khi đó n=p+q; n+1=pq -> (p-1)(q-1)=2. Vậy n=5, p=2, q=3 hoặc n=5, p=3, q=2. Vậy (a,b,c,d) = (2,6,3,4); (2,6,4,3). Tương tự ta có (a,b) = (2,6); (6,2); (3,4); (4,3).