Bổ đề : , tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ , tiếp tuyến tại $A$ cắt tiêp tuyến tại $B,C$ tại $F, E$ , $G,H$ là trung điểm $ CF, BE$ , đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AO$ cắt $GH$ tại $J$ , $X$ là trung điểm $BC$ , Chứng minh $JO=JX$
-Giải : Gọi $JO$ cắt $BC$ tại $U$ . , $BC$ cắt $FE$ tại $M$ , $BF$ cắt $CE$ tại $N$ , $NX$ giao $FE$ tại $Z$ , $AO$ cắt $BC$ tại $Y$
ta có $HG$ là đường thẳng $Gauss$ nên $GH$ đi qua trung điểm $MN$
mặt khác$\frac{ZF}{ZE}=\frac{NF}{NE}=\frac{YC}{YB}$ nên theo bổ đề ERIQ thì trung điểm $YZ$ cũng thuộc $GH$
ta lại có$\frac{OZ}{OY}=\frac{OA}{OX}=\frac{ON}{OA}$ suy ra $AN$ song song $YZ$
có :$\frac{UM}{UY}=\frac{OA}{OY}=\frac{ON}{OZ}$ nên theo bổ đề ERIQ thì trung điểm 3 đoạn $MN,UO,YZ$ thẳng hàng ,, khi đó $J$ là trung điểm $UO$ , Khi đó $JX=JO$
Trở lại bài toán gọi $P'$ đối xứng với $A$ qua $P$ , ta sẽ chứng minh $(A,P',I,J)=-1$
-phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích bất kì , ta đưa về bài toán sau ( kí hiệu điểm không đổi khi nghịch đảo : Cho tam giác $ABC$ , $(I)$ là $A$ bàng tiếp cắt $CA,AB$ tại $E,F$ , $AI$ cắt $FE$ tại $J$ , , đường thẳng qua $A$ song song với $FC$ cắt $(AFC)$ tại $T$ , $L$ đối xứng với $A$ qua $FC$ , $S,K$ xác định tương tự , $(ATL)$ cắt $(ASK)$ tại $M$ , $N$ thuộc đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$ sao cho $IA=IN$ $(AMN)$ cắt $AI$ tại $P$ , $P'$ là trung điểm $AP$ , Chứng mình : $P'$ cũng là trung điểm $JI$
Giải , Nếu goi $G,H$ là trung điểm $BE, CF$ thì $(ATL)$ chính là $(H,HA)$ , và nếu gọi $GH$ cắt đường thẳng qua $I$ song song $BC$ tại $U$ thì là tâm $(AMN)$ , để chứng minh $P'$ cũng là trung điểm $JI$ thì ta chứng minh $UI=UJ$
- Lược bỏ các điểm không cần thiết , ta đưa về bài toán : , Cho tam giác $ABC$ , $(I)$ là $A$ bàng tiếp cắt $CA,AB$ tại $E,F$ . $AI$ cắt $FE$ tại $J$ .$G,H$ là trung điểm $BE, CF$..$GH$ cắt đường thẳng qua $I$ song song $BC$ tại $U$ , chứng mình $UI=UJ$ , đây chính là bổ đề trên