Chủ đề này có 1 trả lời

[Huybeo2003]

Cho x+y=2, CMR x^5+y^5>=2, dùng cách càng cơ bản càng tốt hihi (em dùng điện thoại nên không đánh latex được, mong các anh Thông cảm)

[Shin Janny]

Do x,y không thể cùng <0 (vì x+y=2) nên ta xét các TH:

TH1: x>0, y>0.

$x^{5}+y^{5}=\frac{x^{6}}{x}+\frac{y^{6}}{y}\geq \frac{(x^{3}+y^{3})^{2}}{x+y}=\frac{(x^{3}+y^{3})^{2}}{2}$

$x^{3}+y^{3}=\frac{x^{4}}{x}+\frac{y^{4}}{y}\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y}\doteq\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2}$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=2$

Nên $x^{5}+y^{5}\geq 2$

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1

TH2: x=0, y=2 hoặc x=2, y=0 thì $x^{5}+y^{5}=32>2$

TH3: 1 trong 2 số x,y âm. Giả sử y<0

x+y=2 nên x=2-y

Khi đó $x^{5}+y^{5}=(2-y)^{5}+y^{5}=32-80y+80y^{2}-40y^{3}+10y^{4}>32>2$