Chủ đề này có 1 trả lời

[thuybka]

Cho ánh xạ tuyến tính f: $P_{2}[x]\rightarrow P_{2}[x]; f(1-x^{2})=-1+3x+2x^{2},f(3x+2x^{2})=7-8x-x^{2},f(1+5x+3x^{2})=12-11x+x^{2}$. tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của$P_{2}[x]$. Tính$f(1+x^{2})$

[E. Galois]

Cơ sở chính tắc của $P_2 [x]$ là $\{ 1, x, x^2 \}$

Theo giả thiết, ta có:

$$\left\{\begin{matrix}f(1) & & -f(x^2) & =&-1 & + 3x & + 2x^2 \\
&3f(x) & +2f(x^2) & =&7 & -8x & -x^2 \\
f(1) &+ 5f(x)& +3f(x^2) & =&12 & -11x & + x^2
\end{matrix}\right.$$

 

Đặt 

$$A=\begin{pmatrix} 1&0  &-1 \\ 0 &3  &2 \\ 1 & 5 & 3\end{pmatrix}; \quad  B=\begin{pmatrix} -1&3  &2 \\ 7 &-8  &-1 \\  12 & -11 & 1 \end{pmatrix}$$

 

Ta có:

$$A.\begin{pmatrix} f(1)\\f(x)  \\ f(x^2) \end{pmatrix} = B. \begin{pmatrix} 1\\x  \\x^2  \end{pmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} f(1)\\f(x)  \\ f(x^2) \end{pmatrix} = A^{-1}.B. \begin{pmatrix} 1\\x  \\x^2  \end{pmatrix}$$

Ma trận của $f$ đối với cơ sở chính tắc là chuyển vị của ma trận

$$C=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-0,5 & -2,5 &1,5 \\  1& 2 &-1 \\  -1,5 & -2,5 & 1,5\end{pmatrix} . \begin{pmatrix} -1&3  &2 \\ 7 &-8  &-1 \\  12 & -11 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &2  &3 \\  1 & -2 &-1 \\  2 &-1  &1  \end{pmatrix}$$

 

Do đó ma trận cần tìm là:

$$C^t = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 2 &-2  & -1\\ 3 &-1  &-1 \end{pmatrix}$$

 

Ta có

$$C^t\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 2 &-2  & -1\\ 3 &-1  &-1 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1 \\4  \end{pmatrix}$$

Do đó:

$$f(1+x^2) = 3 + x +4x^2$$