Chủ đề này có 1 trả lời

[cyndaquil]

Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}$

(không dùng đạo hàm)

[An Infinitesimal]

Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}$

(không dùng đạo hàm)

 

Ta có

$$\frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}=\frac{x^2-4\sin^2(x/2)}{x^4}=\frac{x-2\sin(x/2)}{x^3}\frac{x+2\sin(x/2)}{x}.$$

 

Có lẽ được phép dùng các đánh giá sau (?):

 

$$-\frac{t^3}{6}+t\le \sin t \le t-\frac{t^3}{6}+ \frac{t^5}{120}\le t \forall t\in (0, \pi/2).$$

 

Suy ra 

$$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x-2\sin(x/2)}{x^3}=\frac{1}{24},$$

và 

 

$$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x+2\sin(x/2)}{x}=2.$$

 

Tương tự, tính được các giới hạn bên trái và đi đến kết luận

$$\lim_{x \to 0} \frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}=\frac{1}{12}.$$

 

P.S: Chứng minh BĐT phụ phải dùng đến "đạo hàm"!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 26-01-2017 - 09:24