Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+1)=y\\ y^{2}(z+1)=z\\ z^{2}(x+1)=x \end{matrix}\right.$

- - - - - hệ phương trình

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
ILoveMath4864

ILoveMath4864

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+1)=y\\ y^{2}(z+1)=z\\ z^{2}(x+1)=x \end{matrix}\right.$



#2
ILoveMath4864

ILoveMath4864

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Không biết còn ai xem topic này nữa không nhưng mình đã có cách giải bài toán này.

Cách giải như sau:

+) Xét $x=y=z=0$ là 1 nghiệm của hệ

+) Xét $x, y, z\neq 0$ , khi đó gọi 3 pt lần lượt là (1), (2), (3) . Chia 2 vế của (1), (2), (3) lần lượt cho $x^{2}y, y^{2}z, z^{2}x$ Ta có hệ mới:

                                            $\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}} & \\ 1+\frac{1}{z}=\frac{1}{y^{2}} & \\ 1+\frac{1}{x}=\frac{1}{z^{2}} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $\frac{1}{x}=a , \frac{1}{y}=b, \frac{1}{z}=c$ có hệ mới:

                                             $\left\{\begin{matrix} 1+b=a^{2} & (3)\\ 1+c=b^{2} & (4)\\ 1+a=c^{2} & (5) \end{matrix}\right.$

Ta thấy :  Nếu a, b, c thỏa mãn hệ trên mà trong 3 số đó có 1 số dương, giả sử số đó là a. Từ (5) suy ra được $c^{2}> 1$

Lại có từ (4) suy ra $c> -1$ nên $c> 1$

$c> 1$ kết hợp với (2) suy ra $b^{2}> 2$ nên $b> \sqrt{2}$ hoặc $b< -\sqrt{2}$

Nếu $b< -\sqrt{2}$ thì $1+b< 0 = > a^{2}< 0$ vô lí

=> $b> \sqrt{2}$

=> cả 3 số a, b, c dương. tương tự ta cũng chứng minh được 3 số cùng âm

vậy nếu 3 số a, b, c thỏa mãn hệ thì 3 số phải cùng âm hoặc cùng dương.

Đến đây xét 2 trường hợp:

TH1:  $a,b,c> 0$ . Giả sử $a> b$ suy ra $a^{2}> b^{2}$ => $1+b> 1+c$ => $b> c$ => $b^{2}> c^{2}$ => $1+c> 1+a$ => $c> a$ 

Tương tự có $c< a$ 

2 điều trên suy ra a=c nên cũng suy ra được a=b

thay vào hệ ta có 

                                           $\left\{\begin{matrix} a=b=c> 0\\ 1+a=a^{2} \end{matrix}\right.$

dễ dàng tính được $a=b=c=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Từ đó suy ra x, y, z

TH2: hoàn toàn tương tự TH1

                           Vậy là kết thúc bài hệ này !! :luoi:  :luoi:  :luoi:  :D  :D  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMath4864: 11-02-2017 - 22:39


#3
diemdaotran

diemdaotran

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

mình nhớ không nhầm thì đây là câu hệ cuối đề thi vào 10 chuyên toán Lê Hồng Phong Nam Định năm 07-08


                                                                                                                               $\sqrt{M}.\sqrt{F}=\sqrt{MF}$   


#4
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

mình nhớ không nhầm thì đây là câu hệ cuối đề thi vào 10 chuyên toán Lê Hồng Phong Nam Định năm 07-08

Chỉ gần giống thôi ông ạ.


Sống khỏe và sống tốt :D


#5
diemdaotran

diemdaotran

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

giống hệt luôn ông xem lại ý


                                                                                                                               $\sqrt{M}.\sqrt{F}=\sqrt{MF}$   






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh