Chủ đề này có 3 trả lời

[Element hero Neos]

Tìm công thức tổng quát của $u_{n}$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=u_{n}^3+3u_n^2-3 \end{matrix}\right.$

[tritanngo99]

Tìm công thức tổng quát của $u_{n}$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=u_{n}^3+3u_n^2-3 \end{matrix}\right.$

Đặt $v_{n}=u_{n}+1\implies \left\{\begin{matrix} v_1=3\\v_{n+1}=v_n^3-3v_n  \end{matrix}\right.$.

Giả sử $v_1=\alpha+\frac{1}{\alpha}$. Khi đó: $\alpha=\frac{3+\sqrt{5}}{2}...v...\alpha=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Khi đó ta có: $v_2=(\alpha+\frac{1}{\alpha})^3-3(\alpha+\frac{1}{\alpha})=\alpha^{3^1}+\frac{1}{\alpha^{3^1}}$.

Tương tự: $v_3=\alpha^{3^2}+\frac{1}{\alpha^{3^2}}$.

Giả sử: $v_n=\alpha^{3^{n-1}}+\frac{1}{\alpha^{3^{n-1}}}$.

Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được: $v_{n+1}=\alpha^{3^{n}}+\frac{1}{\alpha^{3^n}}$.

 $\implies v_n=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{3^{n-1}}+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{3^{n-1}}(\forall n\ge 2,n\in \mathbb{N})$.

Vậy công thức tổng quát cần tìm là:

$u_n=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{3^{n-1}}+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{3^{n-1}}-1(\forall n\ge 2,n\in \mathbb{N}$

[tritanngo99]

 

Một dạng tương tự: Giả sử ta đổi lại $u_1=\beta$ thỏa mãn: $\beta\in [-3;1]$.

Khi đó ta có lời giải bài toán như sau:

Đặt $v_n=u_n+1\implies v_{1}\in [-2;2]$. Đặt $v_n=2w_n\implies w_1\in [-1;1]$

Tương tự như bài trên ta có dãy: $\left\{\begin{matrix} w_1=\frac{\beta+1}{2}\\w_{n+1}=4w_n^3-3w_n  \end{matrix}\right.$.

Do $w_1\in [-1;1]$ nên tồn tại số $\alpha$ thỏa mãn: $w_1=cos(\alpha)$.

Khi đó ta có: $w_{2}=4cos(\alpha)^3-3cos(\alpha)=cos(3\alpha)$.

Tương tự kết hợp với quy nạp ta chứng minh được: $w_n=cos(3^{n-1}\alpha)$. Từ đây dễ dàng suy ra $u_n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 17-01-2017 - 21:34

[tenlamgi]

Tìm công thức tổng quát của $u_{n}$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=u_{n}^3+3u_n^2-3 \end{matrix}\right.$

$u_{n+1}=u_{n}^3+3u_{n}-3\Leftrightarrow u_{n+1}+1=(u_{n}+1)^3-3(u_{n}+1)$

Ở đây nếu đặt $v_{n}=u_{n}+1$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} v_{1}=3\\ v_{n+1}=v_{n}^3-3v_{n} \end{matrix}\right.$

Đặt $v_{1}=2coshx\Rightarrow v_{2}=2cosh3x\Rightarrow v_{3}=2cosh9x\Rightarrow ...v_{n+1}=2cosh(3^{n}x)$$(x=arcosh(3/2))$

Vậy công thức tổng quát:

$u_{n}=v_{n}-1=2cosh(3^{n-1}arcosh(3/2))-1$