Đến nội dung

Hình ảnh

Xác định vị trí mặt phẳng $(P)$ để thiết diện có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, $I$ và $K$ là trung điểm của $AB$ và $CD$, mặt phẳng $(P)$ chứa $IK$ cắt tứ diện theo 1 thiết diện. Xác định vị trí mặt phẳng $(P)$ để thiết diện có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất.
 
 


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

 

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, $I$ và $K$ là trung điểm của $AB$ và $CD$, mặt phẳng $(P)$ chứa $IK$ cắt tứ diện theo 1 thiết diện. Xác định vị trí mặt phẳng $(P)$ để thiết diện có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất.
 

 

Gọi $(Q)$ là một mặt phẳng nào đó sao cho $IK$ _|_ $(Q)$ (Khi đó $(P)$ cũng luôn luôn vuông góc với $(Q)$)

Giả sử $(P)$ cắt tứ diện theo thiết diện là tứ giác $IMKN$ (không làm mất tính tổng quát ta giả sử $M$ thuộc cạnh $AD$ ; $N$ thuộc cạnh $BC$)

Lưu ý rằng $M$ có thể trùng với $A$ hoặc $D$, khi đó $N$ sẽ trùng với $B$ hoặc $C$ và tứ giác $IMKN$ trở thành tam giác $ABK$ hoặc $CDI$ nhưng ta vẫn xem đó là "tứ giác" $IMKN$ với góc $K$ hoặc $I$ bằng $180^o$

Gọi hình chiếu của $A,B,C,D,I,K,M,N$ trên $(Q)$ lần lượt là $A',B',C',D',I',K',M',N'$ ($I'$ trùng với $K'$)

Dễ dàng nhận thấy các tam giác $A'I'D'$ và $B'I'C'$ vuông cân tại $I'$ ; tứ giác $A'D'B'C'$ là hình vuông có $A'B'=a$ và $I'$ là trung điểm của $M'N'$

Mặt khác tứ giác $IMKN$ có $IM=IN$ ; $KM=KN\Rightarrow IK$ _|_ $MN$

$\Rightarrow S_{IMKN}=\frac{IK.MN}{2}=\frac{IK.M'N'}{2}=IK.I'M'$

Dễ dàng tính được $IK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.Do đó nếu gọi $J$ là trung điểm $A'D'$ thì :

$S_{IMKN_{max}}=IK.I'A'=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\ a^2$ (khi $M$ và $N$ trùng với đỉnh của tứ diện)

$S_{IMKN_{min}}=IK.I'J=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a^2}{4}$ (khi $M$ và $N$ là trung điểm của cạnh tứ diện)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-01-2017 - 17:53

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh