Chủ đề này có 1 trả lời

[Sonhai224]

giải phương trình trên tập số nguyên $\left | 3^x-2^y \right |=1$

[tay du ki]

Giải như sau:
TH1: $3^x-2^y=1 \Rightarrow 3^x-1=2^y$
Ta cm quy nạp thu được $3^{2^k}-1 \vdots 2^{k+1}$ mà $\not \vdots 2^{k+2}$
Giờ cm $2^k$ là số nhỏ nhất thỏa $3^h-1 \vdots 2^{k+1}$ thật vậy giả sử ngược lại hay tồn tại $l<2^k$ sao cho $3^l-1 \vdots 2^{k+1}$ suy ra $2^k \vdots l$ (theo định lý cơ bản về cấp số, cm bằng cực hạn) suy ra $l=2^t$ và do $l<2^k$ nên $t<k$ suy ra $3^{2^t}-1 \vdots 2^{k+1}$ lại có theo quy nạp ở trên $3^{2^t}-1 \vdots 2^{t+1}$ mà $\not \vdots 2^{t+2}$ mà $t+2<k+1$ nên $3^{2^t}-1 \not \vdots 2^{t+1}$ loại do đó có đpcm hay $2^k$ là số nhỏ nhất thỏa $3^h-1 \vdots 2^{k+1}$
Áp dụng vào có $3^{2^{y-1}}-1 \vdots 2^y$ với $2^{y-1}$ nhỏ nhất thỏa
Suy ra $x \vdots 2^{y-1}$ nên $x\geq 2^{y-1}$ suy ra $3^x-1\geq 3^{2^{y-1}}-1$
Đặt $2^{y-1}=a$ suy ra $3^x-1\geq 3^a-1$ hay $2^y\geq 3^a-1 \Rightarrow 2a\geq 3^a-1$ bằng quy nạp cm được $a>1$ thì $3^a-1>2a$ loại do đó $a=1$ nên $y=1$ suy ra $x=1$
TH2: $2^y-3^x=1 \Rightarrow 2^y-1=3^x$ tương tự trên, ta cm được $2.3^{x-1}$ là số nhỏ nhất thỏa $2^h-1 \vdots 3^x$
Do đó $y \vdots 2.3^{x-1}$ nên $2^y-1\geq 2^{2.3^{x-1}}-1$
Đặt $3^{x-1}=b$ suy ra $3b=2^{y}-1\geq 2^{2b}-1 \Rightarrow 3b\geq 2^{2b}-1$ bằng quy nạp cm được $b\geq 3$ thì $2^{2b}-1>3b$ do đó $b=1,2$ nên $3^{x-1}=1,2$ nên $x-1=0 \Rightarrow x=1$ suy ra $y=2$
Vậy $\boxed{(x,y)=(1,1),(1,2)}$ là tất cả nghiệm