Chủ đề này có 8 trả lời

[ILoveMath4864]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                     $P=\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}+\frac{(1+b)^{2}(1+c)^{2}}{1+a^{2}}+\frac{(1+c)^{2}(1+a)^{2}}{1+b^{2}}$

Giúp mình với nhé, nhanh lên đang cần gấp!!!

[ILoveMath4864]

Mình cũng đã có lời giải cho bài toán này:

Ta có: $(1+a)^{2}(1+b)^{2}=(1+a+b+ab)^{2}\geq 4(1+ab)(a+b)$ (theo bất đẳng thức quen thuộc $(a+b)^{2}\geq 4ab$ )

Mà $4(1+ab)(a+b)=4a+4b+4a^{2}b+4ab^{2}=4a(1+b^{2})+4b(1+a^{2})$

=> $\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}\geq 4a.\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+4b.\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}$

Chứng minh tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi công theo vế ta có:

$P\geq 4a(\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}})+4b.(\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a^{2}})+4c.(\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}})$

Đến đây áp dụng bđt Cô- Si thì $P\geq 8a+8b+8c$

suy ra ĐpCM

            

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMath4864: 12-02-2017 - 21:51

[viet9a14124869]

Mình cũng đã có lời giải cho bài toán này:

Ta có: $(1+a)^{2}(1+b)^{2}=(1+a+b+ab)^{2}\geq 4(1+ab)(1+b)$ (theo bất đẳng thức quen thuộc $(a+b)^{2}\geq 4ab$ )

=> $\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}\geq 4a.\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+4b.\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}$

Chứng minh tương tự với 2 số hạng còn lại rồi công theo vế ta có:

$P\geq 4a(\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}})+4b.(\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a^{2}})+4c.(\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}})$

Đến đây áp dụng bđt Cô- Si thì $P\geq 8a+8b+8c$

suy ra ĐpCM

            

chỗ này là a+b ,,,bạn nên sửa lại đi nhé

[ILoveMath4864]

chỗ này là a+b ,,,bạn nên sửa lại đi nhé

ok

[LinhToan]

mình chưa thử, nhưng nếu tối ý quá, nhân hết lên có ra ko ta???

[LinhToan]

Mình cũng đã có lời giải cho bài toán này:

Ta có: $(1+a)^{2}(1+b)^{2}=(1+a+b+ab)^{2}\geq 4(1+ab)(a+b)$ (theo bất đẳng thức quen thuộc $(a+b)^{2}\geq 4ab$ )

=> $\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}\geq 4a.\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+4b.\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}$

Chứng minh tương tự với 2 số hạng còn lại rồi công theo vế ta có:

$P\geq 4a(\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}})+4b.(\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a^{2}})+4c.(\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}})$

Đến đây áp dụng bđt Cô- Si thì $P\geq 8a+8b+8c$

suy ra ĐpCM

            

mình chưa hiểu lắm, sao nhận ra lại đc thế. thế 1+ab đâu ạ? bạn gt hộ mình với!!!

[viet9a14124869]

$(1+a)^2(1+b)^2\geq 4(a+b)(1+ab)=4a+4b+4a^2b+4ab^2=4a(1+b^2)+4b(1+a^2)$ bạn à

[ILoveMath4864]

mình chưa hiểu lắm, sao nhận ra lại đc thế. thế 1+ab đâu ạ? bạn gt hộ mình với!!!

 

 

$(1+a)^2(1+b)^2\geq 4(a+b)(1+ab)=4a+4b+4a^2b+4ab^2=4a(1+b^2)+4b(1+a^2)$ bạn à

 

bạn viet9a14124869 giải thích đúng rồi đấy

[ILoveMath4864]

mà để mình thêm vào cho rõ